Макстермная матрица задана табл.1.11

3. Макстермная матрица задана табл.1.11

Таблица 1.11

Макстермная матрица

Простые импликанты	Члены СКНФ
(макстермы)	1	2	3	4
	X	X
	X			X
			X	X

4. МКНФ логической функции:

.

 

Второй алгоритм получения МКНФ логической функции:

1.    Логическая функция представляется в СДНФ заданной функцией, взятой с отрицанием.

Если функция задана таблицей истинности, то выписывают ряд произведений всех аргументов и соединяют их знаками дизъюнкции; количество произведений должно равняться числу наборов, на которых заданная функция обращается в нуль; под каждым произведением записывают набор аргументов, на которых функция равна нулю, и над аргументами, равными нулю, ставят знаки отрицания. Если функция заданна алгебраически в произвольной форме, то сначала находят ее СДНФ, а затем записывают дизъюнкцию всех произведений аргументов, которые не вошли в СДНФ.Находят МДНФ по рассмотренному выше алгоритму. От полученной МДНФ берут отрицание и, после преобразований по формулам Де Моргана, получают МКНФ.

Пример 1.12. Найти МКНФ, функции заданной табл.1.12

Таблица 1.12

Таблица истинности

x1	x2	x3	f
0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	0
1	1	1	1

 

Решение: 1. СДНФ, взятая с отрицанием:

2. Результаты склеивания и поглощения:

3. МДНФ, взятая с отрицанием:

4. Взяв от обеих частей последнего равенства отрицание и применив формулу Де Моргана, получают МКНФ логической функции:

.

1.8 Логический базис

Любую логическую функцию можно представить в виде СДНФ или СКНФ, т.е. с помощью соответствующей комбинации простейших логических функций И, ИЛИ, НЕ. Такой набор простейших логических функций называют функционально полным или логическим базисом.

Логический базис называют минимальным, если удаление хотя бы одной из входящих в него функций превращает его в функционально неполный.

Логический базис И, ИЛИ, НЕ не является минмальным, так как с помощью закона дуальности (Де Моргана) можно исключить из логических выражений либо функцию И, либо функцию ИЛИ:

.

В результате получим минимальные базисы: И, НЕ и ИЛИ, НЕ.

2 Логические элементы, образующие логический базис 2.1 Конъюнктур (элемент И)

 

Конъюнктур - реализует операцию “логическое умножение”. Схема имеет два или больше входов и один выход. На выходе сигнал “1” появляется тогда и только тогда, когда на все входы одновременно воздействуют входные сигналы “1” рис. 2.1.

Рис.2.1 Условное изображение конъюнктура на функциональных схемах: x₁ ,x₂,... , x_n - входы (минимальное число входов -2); y- выход.

 

Логика работы конъюнктура на три входа представлена табл.2.1

Таблица 2.1

Таблица состояний конъюнктура

x1	x2	x3	f
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	0
1	1	0	0
1	1	1	1

Логическое уравнение работы конъюнктура:

.

Знаки (×), (L) соответствуют конъюнкции и читаются как союз И.

Если на вход конъюнктура поступают сигналы в разные моменты времени и разной длительности, то сигнал на входе определяется как результат пересечения входных сигналов (рис. 2.2)

Рис 2.2 Временная диаграмма работы конъюнктура

Таким образом , где i=1,2,... ,n

С точки зрения физической реализации конъюнктуры могут быть выполнены на различных “вентильных” компонентах (диодах, транзисторах и др.)

Функцию И реализуют, например, соединенные последовательно замыкающие контакты нескольких реле. Цепь в этом случае будет замкнута только тогда, когда сработают все реле.

2.2 Дизъюнктор (элемент ИЛИ)

 

Дизъюнктор - реализует операцию "логическое сложение". Схема имеет два или больше входов. На выходе сигнал "1" появляется тогда, когда хотя бы на один вход воздействует сигнал "1"(рис.2.3).

Рис. 2.3 Условное изображение дизъюнктора на функциональных схемах: х₁, х₂,...х_n - входы (минимальное число входов - два); у - выход.

Логика работы дизъюнктора на три входа представлена табл.2.2

Таблица 2.2

Таблица состояний дизъюнктора

х1	х2	х3	у
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	1
1	0	0	1
1	0	1	0
1	1	0	1
1	1	1	1

Логическое уравнение работы дизъюнктора: у=х₁+х₂+х₃ или . Знаки (+), () соответствуют дизъюнкции и читаются как союз ИЛИ. Если на вход дизъюнктора поступают сигналы в разные моменты времени и разной длительности, то сигнал на выходе определяется как результат объединения входных сигналов (рис.2.4).

Рис. 2.4 Временная диаграмма работы дизъюнктора.

Таким образом, .

С точки зрения физической реализации дизъюнкторы могут быть выполнены на различных "вентильных" компонентах (диодах, транзисторах и др.). Функцию ИЛИ реализуют, например, содиненные параллельно замыкающие контакты нескольких реле. Цепь в этом случае будет замкнута, если сработает хотя бы одно реле.

2.3      Инвертор (элемент НЕ)

Инвертор - реализует операцию "логическое отрицание". Схема имеет один вход и один выход. На выходе сигнал "1" имеет место в случае, если на входе будет сигнал "0"(рис.2.5).

Рис. 2.5 Условные изображения инвертора на функциональных схемах: Х-вход, У-выход

 

Логика работы инвертора представлена табл.2.3

Таблица 2.3

Таблица состояний инвертора

Х	У
0	1
1	0

Логическое уравнение работы инвертора:

 

Уравнение читается: У равняется не Х.

С точки зрения физической реализации наибольшее распространение получили инверторы на транзисторах.

Функцию НЕ реализует, например, размыкающий контакт реле. При срабатывании реле цепь, в которую входит этот контакт, будет размыкаться.

  2.4 Элемент Шеффера (элемент И-НЕ)

 

Элемент Шеффера - реализует операцию логическое умножение с отрицанием. На выходе сигнал "1" имеет место всегда, кроме случая, когда сигналы "1" на всех входах совпадают (рис. 2.6).

Рис. 2.6 Условное изображение элемента Шеффера на функциональных схемах: х₁, х₂, х_n - входы (минимальное число входов - два); y - выход.

Логика работы элемента Шеффера на три входа представлена табл.2.4

Таблица 2.4

Таблица состояний элемента Шеффера

х1	х2	х3	у
0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	1
1	0	0	1
0	1	1	1
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	0

Логическое уравнение работы элемента Шеффера:

Уравнение позволяет представить логическую схему элемента Шеффера в виде(рис.2.7).

Рис. 2.7 Представление логической схемы элемента Шеффера в виде последовательного соединения конъюнктора и инвертора.

  2.5 Элемент Пирса (элемент ИЛИ-НЕ)

 

Элемент Пирса - реализует операцию логическое сложение с отрицанием. На выходе сигнал "1" имеет место только в случае, если на всех входах одновременно будет сигнал "0" (рис.2.8).

Рис. 2.8 Условное изображение элемента Пирса на функциональных схемах: х₁, х₂, х_n - входы (минимальное число входов - два); y - выход.

 

Логика работы элемента Пирса на три входа представлена табл.2.5

Таблица 2.5

Таблица состояний элемента Пирса

х1	х2	х3	у
0	0	0	1
0	0	1	0
0	1	0	0
1	0	0	0
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	0	0
1	1	1	0

Логическое уравнение работы элемента Пирса:

Поэтому логическую схему элемента Пирса можно представить рис.2.8

Рис. 2.8 Представление логической схемы элемента Пирса в виде последовательного соединения дизъюнктора и инвертора.

 

2.6 Функциональная полнота элементов Шеффера (И-НЕ) и Пирса (ИЛИ-НЕ)

Для того чтобы доказать функциональную полноту элемента Шеффера, покажем возможность построения на его основе логических цепей, реализующих простейшие функции НЕ, И, ИЛИ (рис.2.9).

а) Функция НЕ:

б) Функция И:

в) Функция ИЛИ:

Рис.2.9 Способы построения на основе элемента Шеффера простейших функций

 

То же сделаем для элемента Пирса (рис.2.10).

 а) Функция НЕ:

б) Функция И:

в) Функция ИЛИ:

Рис. 2.10 Способы построения на основе элемента Пирса логических цепей И, ИЛИ, НЕ.

3. Взаимное соответствие логической функции и логической схемы

По заданной логической функции f(х₁, х₂, х₃,...,х_n) можно составить электрическую схему, которая будет преобразовывать логические сигналы х₁, х₂, х₃,...,х_n согласно указанной функции.

Различают схемы:

1)  структурные;

2)  функциональные;

3)  принципиальные (полные).

Структурная схема определяет основные функциональные части, их назначение и взаимосвязи. Структурная схема концентрирует в себе все наиболее важное и существенное о составе, структуре и функциях электронного устройства (ЭУ). Электронным устройством называют любую совокупность взаимодействующих электрорадиоэлементов, предназначенную для выполнения заданной функции.

Функциональная схема разъясняет процессы, протекающие в отдельных цепях или в целом ЭУ. Она занимает промежуточное место между структурной и принципиальной схемами. Цепи, в которых хотят разъяснить процессы, показывают так же подробно, как и на принципиальной схеме, а другие функциональные части изображают в виде прямоугольников, как и на структурной схеме.

Принципиальная (полная) схема определяет полный состав элементов и связей между ними и дает детальное представление о принципах работы ЭУ.

Существуют два уровня, на которых разрабатывают указанные три вида схем:

1)  микроуровень;

2)  макроуровень.

На микроуровне разрабатывают схемы для интегральных микросхем (ИМС). Эти схемы создают разработчики ИМС, они входят в состав документации на ИМС и приводятся в справочниках и технической литературе.

К структурным схемам цифровых ИМС относят схемы, на которых представлены ее части, более крупные, чем функциональные элементы. Функциональный элемент - наименьшая единица функциональной структуры, которая при технической реализации может быть выполнена в виде электрической законченной схемы, выполняющей определенную функцию. Структурные схемы разрабатывают для больших (БИС) и сверхбольших (СБИС) интегральных схем. На этом уровне интеграции разработка функциональных схем для использования лишена смысла ввиду их сложности. О правильности функционирования БИС и СБИС судят по значениям логических сигналов на их выходах при тестировании.

Для ИМС среднего (СИС) и малого (МИС) уровня интеграции разрабатывают функциональные схемы. Структурными элементами функциональных схем комбинационных систем являются логические элементы. Логические элементы различаются между собой характером реализуемой функции, числом входов (по числу одновременно действующих переменных), числом выходов и другими признаками. Работа их оценивается только с точки зрения логики, без учета практического воплощения (технической базы, способа питания и т.п.). Структурными элементами функциональных схем последовательных систем (системы с памятью) являются триггеры и логические элементы.

Функции, выполняемые логическими элементами и триггерами, могут быть определены по их условным графическим обозначениям. К функциональным относятся такие схемы, на которых одна из нескольких одинаковых частей показана на уровне логических элементов (и триггеров), и остальные - в виде более крупных структур.

Структурная и функциональная схемы не дают представления о физических процессах в логических элементах. Эти представления для каждой серии ИМС дают принципиальные схемы их базовых логических элементов.

На схемах логические элементы по ГОСТ 2.743-82 "Обозначения условные графические в схемах. Элементы цифровой техники" изображают прямоугольником, в верхней части которого указывают символ функции: & для И; 1 для ИЛИ. Инверторные входы и выходы выделяются кружком у вывода. Выводы питания и общий не показывают.

Рассмотрим порядок составления функциональной схемы (рис.3.1) по заданной логической функции, например,

1-й этап - получить отрицание от переменных х₁, х₂, х₃.

2-й этап - получить дизъюнкцию , конъюнкции  и .

3-й этап - получить конъюнкцию х₁().

4-й этап - получить заданную логическую функцию.

Рис. 3.1 Функциональная схема.

Проектирование функциональных схем сводится к последовательным формальным процедурам, которые могут быть реализованы на ЭВМ. Способ соединения логических элементов функциональной схемы определяется последовательностью выполнения логических операций в заданной логической функции. Последовательность выполнения этих операций удобно разбить на ряд этапов. В каждый этап включают те операции, которые можно проводить в произвольной последовательности.

Пример 3.1. Синтезировать в базисе И, ИЛИ, НЕ и в базисе И-НЕ, ИЛИ-НЕ устройство, сигнал на выходе которого равен 1 только в том случае, когда на его двух входах (х₁ и х₂) действуют различные сигналы (узел неравнозначности, сумматор по модулю два).

Решение: 1. Таблица истинности в соответствии со словесным описанием работы устройства:

х1	х2	f
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

2.Для перехода от табличного представления функции к алгебраическому в формах СДНФ и СКНФ каждому набору переменных ставятся в соответствие минтермы (m_i) и макстермы (M_i):

х1	х2	mi	Mi	f
0	0			0
0	1			1
1	0			1
1	1			0

3. СДНФ функции:

,

где q=2ⁿ, n - число переменных.

4. СКНФ функции:

.

Применив правило Де Моргана:, получим:

4.  Функциональная схема для функции, представленной в СДНФ, в базисе И, ИЛИ, НЕ (рис.3.2).

Рис. 3.2 Функциональная схема устройства в базисе И, ИЛИ, НЕ