ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА ПО РАСПОЛОЖЕНИЮ НУЛЕЙ И ПОЛЮСОВ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ В КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ

7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА ПО РАСПОЛОЖЕНИЮ НУЛЕЙ И ПОЛЮСОВ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ В КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ

Качество процесса управления может быть оценено по расположению нулей и полюсов передаточной функции в комплексной плоскости.

Чем ближе к оси мнимых величин расположены полюсы (корни характеристического уравнения) и при этом вблизи этих полюсов нет нулей, тем больше амплитуда свободных составляющих переходного процесса. Сопряженные комплексные полюсы обуславливают наличие колебательной составляющей в процессе. Вещественная часть полюсов определяет быстроту затухания свободной составляющей, а мнимая часть - частоту колебаний. По мере увеличения мнимой и уменьшения вещественной частей комплексного корня увеличивается колебательность процесса.

Если передаточная функция замкнутой САУ не имеет нулей, то время переходного процесса может быть определено по значению вещественной части полюса, наиболее близко расположенного к оси мнимых величин

L_nN

t_п = -------------- , (7.1)

a

где N - заданное число раз, в которое уменьшается значение свободной составляющей переходного процесса за время t_п;

a - абсолютное значение вещественной части полюса.

Если время переходного процесса является заданным, то можно получить соответствующее минимально - допустимое значение вещественной части полюса, наиболее близко расположенного к оси мнимых величин. Это значение принято называть степенью устойчивости.

Степень устойчивости определяется по формуле

L_n N

Q_мин = ----------- .

t_п

Колебательность САУ может быть определена как

G = tgd, (7.2)

где d - минимальный угол, в двойной раствор которого вписываются все комплексные полюсы.

При наличии нулей передаточной функции оценка показателей качества по полюсам может дать большую ошибку, причём тем большую, чем ближе к оси мнимых величин расположены нули.

На рис.7.1 и 7.2 приведено расположение нулей и полюсов передаточных функций замкнутой САУ рис.3.1 для воздействий Df(t) и DZ(t) при различных значениях Кос, а также значения показателей качества, определенные по (7.1) и (7.2) при N = 10.

Рис.7.1. Нули (n) и полюсы (р) передаточной функции САУ рис.3.1 при входном воздействии Df(t), Ку = 20, Кос = 1.0 (а) и Кос = 20 (б).

Из рис.7.1 и 7.2 следует, что при К_у = 1.0и К_ос = 1.0 значение свободной составляющей переходного процесса уменьшается в 10 раз за время t_n = 25с, а при К_у = 20, К_ос = 20 - за время t_n = 36c. Показатель колебательности при этом имеет, соответственно, значения G = 28,9 (сильная колебательность) и G = 0.078 (колебательность практически отсутствует).

Рис.7.2. Полюсы передаточной функции САУ рис.3.1 при входном воздействии DZ(t), Ку = 20, Кос = 1.0 (а) и Кос = 20 (б).

8. ОБЛАСТЬ УСТОЙЧИВОСТИ

Область устойчивости в пространстве варьируемых параметров рассчитывается и строится для оценки границ возможного их изменения без нарушения устойчивости САУ.

Параметры, в пространстве которых должна быть построена область устойчивости, определены заданием. Построение может быть осуществлено применением аналитических методов (Д-разбиение, определители Гурвица и др.) или с помощью специальной компьютерной программы “Расчёт областей устойчивости”. Предпочтительным является аналитический метод с проверкой результатов расчёта на компьютере.

В качестве примера ниже приведены расчет и построение области устойчивости САУ по рис.3.1 в плоскости параметров Ку и Кос.

Характеристическое уравнение замкнутой САУ

Д_з(р) = 0.8Р³ + (5.7 + 6.4 КуКос)Р² + (8.7 + 0.8 КуКос)Р + 1 + 0.48Ку=0

целесообразно представить в виде

1 1 1  1

Д_з(р) = --- 0.8 Р³+--- 5.7Р²+6. 4 КосР²+--- 8.7Р+0.8 КосР+---+0.48=0, (8.1)

Ку Ку Ку Ку или

1

Д_з(р) = ------ S( P) + КосR(P) + Q(P) = 0 ,

Ку

где S(P) = 0.8Р³ + 5.7Р² + 8.7Р + 1;

R(P) = 6.4Р² + 0.8Р;

Q(P) = 0.48

Положим Р = jw, тогда

S(jw) = - j 0.8w³ - 5.7w² + j8.7w + 1 = x₁(w) + jy₁(w);

R(jw) = - 6.4w² + j 0.8w = x₂(w) + jy₂(w);

Q(jw) = 0.48 = x₃(w) + jy₃(w),

Где x₁(w) = - 5.7w² + 1; y₁(w) = - 0.8w³ + 8.7w;

x₂(w) = - 6.4w²; y₂(w) = 0.8w;

x₃(w) = 0.48; y₃(w) = 0.

Составим определители:

- x₃(w) x₂(w)

D₁(w) =  = - 0.384w;

- y₃(w) y₂(w)

x₁(w) - x₃(w)

D₂(w) =  = - 0.384w³ + 4.176w;

y₁(w) - y₃(w)

x₁(w) x₂(w)

D(w) = = - 5.12w⁵ + 5.12w³ + 0.8w.

y₁(w) y₂(w)

Искомые параметры, соответствующие координатам границы Д - разбиения,

D(w)

Ку(w) = ------------ = 13.34w⁴ - 131.125w² - 2.08; (8.2)

D₁(w)

D₂(w)  0.48w² - 5.22

Кос(w) = —----------- = ------------------------------------------- (8.3)

D(w) 6.4w⁴ - 63.9w² - 1

Из приведенных выражений следует:

а) Ку(w) = 0 при w = ± 3.16 рад/с;

Ку(w) > 0 при |w| > 3.16 рад/с;

Ку(w) < 0 при |w| < 3.16 рад/с;

б) Кос(w) = 0 при w = ± 3.298 рад/с;

К о с (w) > 0 при 0 < |w| < 3.16 рад/с, |w| > 3. 298 рад/с;

К о с (w) < 0 при 3.16 < |w| < 3. 298 рад/с;

в) при w = 0 имеет место особая прямая, уравнение которой получим, приравняв нулю свободный член характеристического полинома

1 + 0.4 Ку = 0, откуда Ку= - 2.08

Примечание: Для получения особой прямой при w = ¥ следует приравнять нулю коэффициент при старшей степени характеристического полинома. В рассматриваемом случае указанная особая прямая отсутствует.

г) D(w) > 0 при 0 < w < 3.16, -3.16 < w < 0.

Граница Д - разбиения приведена на рис.8.1 (с целью наглядности в разных квадрантах приняты разные масштабы по осям координат). Учитывая, что в Д-разбиении фигурирует параметр 1/Ку (см.8.1), а графическое построение осуществлено относительно параметра Ку (ось абсцисс), штриховка нанесена на правую часть кривой по направлению обхода от w = 0 до w = ¥ при D(w) > 0 и левую - при D(w) < 0. Особая прямая снабжена одинарной штриховкой, направленной в сторону штриховки основной кривой.

Претендентом на область устойчивость является практически весь первый квадрант плоскости Ку,Кос.

Для определения области устойчивости положим Ку = 20 и Кос = 20. Для устойчивости рассматриваемой САУ третьего порядка по Гурвицу достаточно, чтобы D₂ = (5.7+6.4КуКос)(8.7+0.8КуКос) - 0.8(1+0.48Ку) > 0 что при указанных значениях параметров выполняется. Поэтому претендент является областью устойчивости.

Рис.8.1. Граница Д - разбиения САУ рис.3.1 в плоскости параметров Ку, Кос.

Из рис.8.1 следует, что по условиям устойчивости САУ рис.3.1 значения Ку, Кос могут быть выбраны в очень широких диапазонах (практически от 0 до + ¥). Поэтому целесообразно эти значения определять, исходя из других условий (например обеспечение заданного статизма и качества управления).

Похожие работы

Теория автоматического управления судовой аппаратуры

Скачать

24161

0

3

... Вид характеристики зависит от свойств самого регулятора, характеристик ИО и ОР. Вопросы устойчивости, характеризующейся динамическими свойствами АСР, являются основными при изучении теории и эксплуатации средств автоматического регулирования. Определение температуры является одним из сложных и трудоемких процессов измерения, основанным на теплообмене между телами. Приборы, входящие в тепловой ...

Системы автоматического управления

Скачать

26743

0

3

... поведение регулируемой величины. Управляющее воздействие вырабатывается устройством управления (УУ). Совокупность взаимодействующих управляющего устройства и управляемого объекта образует систему автоматического управления. Система автоматического управления (САУ) поддерживает или улучшает функционирование управляемого объекта. В ряде случаев вспомогательные для САУ операции (пуск, остановка, ...

Принципы построения систем автоматического управления

Скачать

7962

0

7

... значениях функции. Начальное значение функции:. (2.10) Конечное значение функции: . (2.11) 7. Теорема запаздывания . (2.12)   4. Дифференциальные уравнения САУ При математическом описании систем автоматического управления составляют уравнения статики и динамики. Уравнения статики описывают установившиеся режимы и, как правило, являются алгебраическими. Уравнения динамики ...

Устойчивость систем автоматического управления

Скачать

41506

0

10

... можно судить, если в пространстве изменяемых параметров построить область устойчивости, т.е. выделить область значений параметров, при которых система сохраняет устойчивость. Область устойчивости в теории автоматического управления принято называть D – областью, а представление области параметров в виде областей устойчивости и неустойчивости называют D – разбиением. Построение области ...