Навигация
3. Условная оптимизация
Задача условной оптимизации в общем случае записывается в известном виде:
Такая задача оптимизации, кроме целевой функции, включает дополнительные условия в виде ограничений и граничных условий.
На рисунке 12 представлена фигура, объем, которой необходимо максимизировать при заданной площади поверхности
Рисунок 12 – Фигура для максимизации объема при заданной площади поверхности
Найдем полную площадь поверхности данной фигуры(без верхней поверхности):
,
найдем объем фигуры:
Эта задача представляет собой пример задачи условной оптимизации: необходимо найти максимальный объем при заданном значении площади поверхности.
Эту задачу можно решить двумя методами:
Метод преобразования целевой функции,
метод штрафных функций.
3.1 Метод преобразования целевой функции
Т.к. положено ограничение типа равенства, то из этого ограничения одну переменную выразим через другую и подставим полученную зависимость в целевую функцию и получим преобразованную целевую функцию, но без ограничений.
V = 4/3∙a2∙h2+7/3∙h1∙a2 → max (1)
S = 6∙a∙h1+4∙h2∙a (2)
Выразим a из (2) и подставим в (1), получим:
V = s2∙(4∙h2+7∙h1)/3∙(6∙h1+4∙h2)2
Теперь, задав начальные условия, значение площади поверхности, и выбрав нужную точность можно решить задачу любым методом безусловной оптимизации.
Возьмем, например, метод правильного симплекса, и зададим начальные условия: а=1м, h1=3м, h2=4м, s=34м. Для метода симплекса выберем точность ε=0,001.
Т.е максимальный объем V=12,7151461307724, при заданной площади получается при h1 = 2,946875, и h2 = 3,83229490168751
3.2 Метод штрафных функций
Методы штрафных функций относятся к группе непрямых методов решения задач нелинейного программирования:
f(x) -> min;
gi(x) 
0, i 1, ..., k;
hj(x) 
0, j 1, ..., m;
a 
x b.
Они преобразуют задачу с ограничениями в последовательность задач безусловной оптимизации некоторых вспомогательных функций. Последние получаются путем модификации целевой функции с помощью функций-ограничений таким образом, чтобы ограничения в явном виде в задаче оптимизации не фигурировали. Это обеспечивает возможность применения методов безусловной оптимизации. В общем случае вспомогательная функция имеет вид
F(x,a) f(x) +rS(x)
Здесь f(x) - целевая функция задачи оптимизации; S(x) - специальным образом выбранная функция штрафа,где r— множитель, значения которого можно изменять в процессе оптимизации.. Точку безусловного минимума функции F(x, a) будем обозначать через х(а).
Среди методов штрафных функций различают методы внутренней и внешней точки. Согласно методам внутренней точки (иначе называемым методами барьерных функций), исходную для поиска точку можно выбирать только внутри допустимой области, а для методов внешней точки как внутри, так и вне допустимой области (важно лишь, чтобы в ней функции целевая и ограничений были бы определены).
3.2 Методы штрафных функций
Эти методы применяются для решения задач нелинейного программирования с ограничениями-неравенствами.
В рассматриваемых методах функции Ф(x, а) подбирают такими, чтобы их значения неограниченно возрастали при приближении к границе допустимой области G (Рисунок 14). Иными словами, приближение к границе “штрафуется” резким увеличением значения функции F(x, а). На границе G построен “барьер”, препятствующий нарушению ограничении в процессе безусловной минимизации F(x, a). Поиск минимума вспомогательной функции F(x, а) необходимо начинать с внутренней точки области G .
Таким образом, внутренняя штрафная функция Ф(х, а) может быть определена следующим образом:
Здесь dG -граница области G.
Рисунок 14 - Внутренняя штрафная функция
Методы внешних штрафных функций
Данные методы применяются для решения задачи оптимизации при наличии как ограничений-неравенств, так и ограничений-равенств.
В рассматриваемых методах функции Ф(х, а) выбирают такими, что их значения равны нулю внутри и на границе допустимой области G, а вне ее -положительны и возрастают тем больше, чем сильнее нарушаются ограничения (Рисунок 15). Таким образом, здесь “штрафуется” удаление от допустимой области G.
Рисунок – 15 Внешняя штрафная функция
Внешняя штрафная функция Ф(х, а) в общем случае может быть определена следующим образом:
Для данного курсового проекта штрафная функция для объема данной фигуры имеет вид:
,
где 
- параметр штрафа, С – полная площадь поверхности, заданная изначально, V(a,h1,h2) = 4/3∙a2∙h2+7/3∙h1∙a2, S(a,h1,h2) = 6∙a∙h1+4∙h2∙a.
Задача была решена методом правильного трехмерного симплекса.
Мы видим, что при увеличении значения параметра штрафа, значение функции уменьшается (ухудшается), а при уменьшении – увеличивается (улучшается).
Похожие работы
... МП к некритическому экстраполированию результата считается его слабостью. Сети РБФ более чувствительны к «проклятию размерности» и испытывают значительные трудности, когда число входов велико. 5. МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЙРОННЫХ СЕТЕЙ ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ СТОИМОСТИ НЕДВИЖИМОСТИ 5.1 Особенности нейросетевого прогнозирования в задаче оценки стоимости недвижимости Использование нейронных сетей можно ...
... с издержками двух или трех конкурентов. Это позволит выявить конкурентоспособность предприятия, определить имеющиеся резервы для снижения издержек. Подобный сравнительный анализ издержек производства на данном предприятии и предприятиях-конкурентах служит основанием для разработки и проведения стратегических мероприятий по снижению издержек производства и оптимизации производственной программы. ...
... от года-x и от номера месяца в году-y следующим образом: F(x)=50-x2+10x-y2+10y. Определите, в каком году и в каком месяце прибыль была максимальной. Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ Билет № 22 1) Постановка вариационной задачи с ограничениями. Привести пример. 2) Дайте геометрическую ...
... ) аппарат, а затем полученную величину корректируют с учетом других факторов (долгосрочная стратегия предприятия, ограничения по производственным мощностям и пр). 3. Рекомендации по оптимизации величины себестоимости продукции на основе анализа соотношения "затраты - объем - прибыль" 3.1 Деление затрат на постоянные и переменные части и определение показателей маржинального дохода ...
0 комментариев