Метод Ньютона(метод касательных)

1.2 Метод Ньютона(метод касательных)

Его отличие от предыдущего метода состоит в том , что на n-й итерации вместо хорды проводится касательная к кривой y =F(x) при х=cn-1 и ищется точка пересечения касательной с точкой абсцисс. При этом необязательно задавать отрезок [a,b], содержащий корень уравнения , а достаточно лишь найти некоторое начальное приближение корня х.

Рисунок 2. Метод касательных

Уравнение касательной, проведенной к кривой y =F(x) в некоторой точке с координатами х0 и F(х 0) имеет вид

y-F(х0)=F’(х0)(x-х0).

Отсюда найдем следующее приближение корня х как абсциссу точки пересечения касательной с осью х (у=0):

х=х0 - F(х0) /F’(х0).

Аналогично могут быть найдены и следующие приближения как точки пересечения с осью абсцисс касательных . Формула для n-го приближения имеет вид

хn=хn-1 - F(хn-1) /F’(хn-1), n=1,2,…

При этом необходимо , чтобы выполнялось условие F’(хn-1)0.

Для окончания итерационного процесса используются те же условия, что и в методе хорд.

1.3 Практическое применение метода хорд для решения уравнений

Возьмем для исследования функцию  и определим точность решения как=0,001.

Рисунок 3. График функции  (в разных пределах)

Визуально определяем границы отрезка, на котором находится корень. Выделяем отрезок [a,b], (а=-0,1, b=0.35).

Прежде чем начать итерационный процесс, необходимо проверить функцию на данном отрезке на ряд условий:

Проверяем существование корня на отрезке по условию

f(-0.1)=-1.571

f(0.35)=1.51037

-2,37280.4954<0

Условие выполнено, следовательно на данном промежутке корень есть.

Исследуем функцию на монотонность на отрезке :

Экстремумов на выбранном отрезке нет.

Проверяем функцию на единственность корня на отрезке.

43.74>0

На данном промежутке имеется только один корень.

4. Выбор точки х0 зависит от того совпадает ли её знак со знаком второй производной данной функции.

Точка а условию не удовлетворяет.

Из условия следует , что х0=b=0.35, тогда за х1 принимаем a = х1=-0.1

6. Формула для решения

При решении мы получили следующие результаты:

Условие, где n=5 выполнено, необходимая точность достигнута, поэтому итерационный процесс можно прекратить.

Добиться указанной точности нам удалось на 5-ой проведенной итерации.

1.4 Практическое применение метода касательных для решения уравнений

В качестве примера решим вышеупомянутое уравнение методом касательных:

=0,001.

Начальное условие:

(выбрали по тому же правилу, которое использовали для решения уравнения методом хорд )

Применим формулу

 ;

<- необходимая точность достигнута, итерационный процесс можно останавливать.

Добиться указанной точности нам удалось на 3-й проведенной итерации

Рисунок 4. График функции на отрезке [; ]

Наименьшим полученным отрезком, в котором содержится корень уравнения является

[; ].

Значения исходной функции на концах этого отрезка

f()=-0,0001391

f()=0,000000033

Как мы видим, на каждой итерации объем вычислений в методе касательных больший, чем в методе хорд, так как приходится находить не только функции F(х) , но и ее производной. Однако скорость сходимости значительно выше в методе касательных: в методе касательных условие сходимости выполнилось на 3- м шаге, а в методе хорд на 5-м.

Рисунок 5. График функции  для метода касательных

Рисунок 6. График функции  для метода хорд

Говоря о функции х=, - выбрав начальное приближение х0 (для метода касательных), х0 и x1(для метода хорд) строится последовательность хn стремящаяся к  и условием сходимости здесь является ,т.е. тангенс угла наклона касательной должен быть меньше 1(угол должен составлять менее 45 градусов). Исходя из рисунков 5,6 очевидно что условие сходимости () итерационной процедуры было выполнено.

Похожие работы

Численные методы линейной алгебры

Скачать

18618

0

16

... уравнений (2) сводится к последовательному решению двух следующих систем уравнений с треугольными матрицами коэффициентов L Y = B; (6) U X = Y (7) линейный алгебраический уравнение численный где Y =  - вектор вспомогательных переменных. Такой подход позволяет многократно решать системы линейных ...

Сравнительный анализ методов оптимизации

Скачать

42464

5

31

... 4 - график унимодальной, но не выпуклой функции Таким образом, кроме перечисленных свойств, выпуклые функции обладают также и всеми свойствами унимодальных функций. 2. Прямые методы безусловной оптимизации Для решения задачи минимизации функции f (х) на отрезке [а; b] на практике, как правило, применяют приближенные методы. Они позволяют найти решение этой задачи с необходимой точностью ...

Численное интегрирование функций

Скачать

7913

0

3

... – остаточный член, характеризующий погрешность формулы. Заметим, что формулы вида (2) называют квадратурными формулами. Геометрический смысл численного интегрирования состоит в вычислении площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(х), осью абсцисс и двумя прямыми х = а и х = b. Приближенное вычисление площади приводит к отбрасыванию в квадратурных формулах остаточного члена ...

Автоматизированный анализ проектирования на микроуровне

Скачать

47503

2

14

... задачи, а именно: 1. Создана расчетная схема анализа на основании сравнительного анализа численных методов, а также программных и технических средств их осуществления; 2. Создан выбор метода автоматизированного анализа объекта проектирования; 3. Спланирован и проведен эксперимент, анализируя результаты которого, приходим к выводу, что данная модель может использоваться с параметрами: r = 5 R = ...