Производная в направлении вектора, перпендикулярного градиенту, равна нулю
ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Интегралы вида
Если т и М – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x), на отрезке [a;b], то
Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы ІІ рода)
Дифференциальное уравнение вида
Комплексным числом называется выражение
Уравнение вида
Конечное количество членов ряда на его сходимость не влияет
Навигация
ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Функция многих переменных
40147
знаков
0
таблиц
0
изображений
2. ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
1. 
.
2. 
3. 
а>0, 
.
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
Непосредственным интегрированием называют вычисление интегралов с помощью основных свойств неопределённого интеграла и таблицы интегралов.
Пример.
Метод подстановки является одним из основных методов интегрирования. Больше того, изучение методов интегрирования в основном сводится к выяснению того, какую подстановку надо сделать в том или ином случае.
Пример.
Этот пример можно было бы решить и так:
Такой метод интегрирования называется методом введения функции под знак дифференциала.
3. Пусть и(х), v(x) – функции, которые имеют на некотором промежутке непрерывные производные. Тогда
d(uv) = udv + vdu
или
udv= d(uv) – vdu.
Интегрируя это равенство, получим
или, учитывая свойство 2 неопределённых интегралов,
.
Эту формулу называют формулой интегрирования по частям.
Укажем некоторые интегралы, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям:
1) в интегралах 
, где k – натуральное число, за и следует брать хk, а за dv – выражение, которое осталось;
2) в интегралах 
, следует обозначать dv= хkdx.
Неопределённый интеграл существует для произвольной непрерывной функции f(x), то есть 
= F(x) +С. Но при этом не всегда первообразная F(x) является элементарной функцией. О таких интегралах говорят, что они ”не берутся”. Например,
= F(x) +С, где F(x) = х - 
+
-
+... .
Не берутся такие интегралы:
- интегральный логарифм, 
- интегральный синус, 
- интегральный косинус, 
, 
- интегралы Френеля и другие.
В связи с этим важно выделить такие классы функций, интегралы от которых всегда выражаются через элементарные функции. Одним из таких классов функций, интегралы от которых всегда ”берутся”, является класс рациональных функций.
Лекция 13. Тема – Элементарные дроби и их интегрирование. Интегрирование некоторых иррациональных и тригонометрических функций.
План.
1. Рациональные функции. Элементарные дроби и их интегрирование.
2. Разложение правильной рациональной дроби на элементарные дроби.
3. Интегрирование некоторых иррациональных и тригонометрических функций.
1. Рациональной функцией или рациональной дробью называют дробь
где Рт(х), Qn(x) – многочлены степени т и п:
Qn(x) = 
хп+
хп -1+...+
, Рт(х) = 
хт+
хт -1+...+
.
Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя т< п, и неправильной, если т
п.
Неправильную дробь всегда можно записать в виде суммы многочлена и правильной дроби.
Поскольку многочлены интегрируются очень легко, то задача интегрирования рациональных функций сводится, таким образом, к интегрированию правильных дробей. Правильные дроби, в свою очередь раскладываются на элементарные дроби. Поэтому рассмотрим интегрирование элементарных дробей.
Различают четыре вида элементарных дробей:
І.
, ІІ. 
, ІІІ. 
, ІV. 
,
где п=2,3,..., а трехчлен х2+рх+q не имеет действительных корней, то есть D=р2-4 q<0.
Рассмотрим, как интегрируются эти дроби.
І.
ІІ. 
ІІІ. Пример.
---
= 
-
.
2. Как известно из алгебры, многочлен Qn(x) степени п может быть разложен на линейные и квадратичные множители
Qn(x) = (х-х
)k…(х-хr)k
(x2+px+q)l…( x2+p
x+q)l,
где 
, х
, p, q - действительные числа; k, I - натуральные числа; k+…+ k+2(I+…+ I)=n, р2- 4 q<0.
Рассмотрим правильную рациональную дробь
знаменатель которой уже разложен на линейные и квадратичные множители. Тогда эту дробь можно разложить на сумму элементарных дробей по таким правилам:
1) множителю (х-а)k соответствует сумма дробей вида
+
+…+
;
2) множителю (x2+px+q)I соответствует сумма дробей вида
+
+…+
,
где А, М, N - неопределённые коэффициенты.
Искать эти неопределённые коэффициенты можно исходя из того, что равные многочлены имеют равные коэффициенты при одинаковых степенях х.
Пример. Вычислить интеграл
.
Решение.
+
,
х+5=А(х+2)+В(х+1),
А=4, В=-3.
= 4
-3
= 4ln
-3ln
+C.
3. 1. Интегралы вида
где R(х, у) – рациональная функция относительно х и у, 
, сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью подстановки
ax+b=t
.
Похожие работы
... (x, y) выполняется неравенство: . При этом, т. е. приращение функции > 0. Определение 3: Точки локальных минимума и максимума называются точками экстремума. Условные Экстремумы При отыскании экстремумов функции многих переменных часто возникают задачи, связанные с так называемым условным экстремумом. Это понятие можно разъяснить на примере функции двух переменных. Пусть заданы функция ...
... p и q, получим некоторые наборы (в зависимости от p и q) на которых функция достигает максимума. 3. Решение задачи с использованием метода покоординатного спуска 3.1 Описание метода покоординатного спуска Изложим этот метод на примере функции трех переменных . Выберем нулевое приближение . Фиксируем значения двух координат . Тогда функция будет зависеть только от одной переменной ; ...
... , Флетчера-Ривса). Методы второго порядка, использующие, кроме того, и информацию о вторых производных функции f (x) (метод Ньютона и его модификации). Метод конфигураций (Хука - Дживса) Следует выделить два этапа метода конфигураций: 1) исследование с циклическим изменением переменных и 2) ускорение поиска по образцам. Исследующий поиск начинается в точке х0, называемой старым базисом. ...
... , что и ошибки эксперимента, то итерации надо прекращать. Поскольку вблизи минимума чаще всего ~, то небольшая погрешность функции приводит к появлению довольно большой области неопределенности ~. 2. Минимум функции многих переменных 2.1 Рельеф функции Основные трудности многомерного случая удобно рассмотреть на примере функции двух переменных . Она описывает некоторую поверхность в ...
0 комментариев