Производная в направлении вектора, перпендикулярного градиенту, равна нулю
ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Интегралы вида
Если т и М – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x), на отрезке [a;b], то
Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы ІІ рода)
Дифференциальное уравнение вида
Комплексным числом называется выражение
Уравнение вида
Конечное количество членов ряда на его сходимость не влияет
Навигация
Дифференциальное уравнение вида
Функция многих переменных
40147
знаков
0
таблиц
0
изображений
2. Дифференциальное уравнение вида
называется дифференциальным уравнением с разделёнными переменными.
Чтобы найти его общее решение, достаточно проинтегрировать обе его части.
.
Дифференциальное уравнение вида
называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.
Чтобы найти его общее решение, надо сначала отделить переменные
а затем проинтегрировать
Пример 7.4. Найти общее решение уравнения
Решение. Сначала отделим переменные
,
а затем проинтегрируем
, 
,
у=Сlnx.
3. Функция 
называется однородной функцией п-го измерения относительно переменных х и у, если для произвольного числа 
выполняется тождество
Пример 7.5.
1) =
, 
- однородная функция третьего измерения.
2) =
- однородная функция нулевого измерения.
Уравнение y’=называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка, если функция является однородной функцией нулевого измерения, то есть, если
(7.2)
Очевидно, уравнение вида
будет однородным тогда и только тогда, когда функции Р(х,у) и Q(х,у), будут однородными функциями одного и того же измерения. Например, уравнение
однородное. Считая, в соотношении (7.2) 
, получим
Поэтому можно дать ещё одно определение однородного уравнения: однородным дифференциальным уравнением называется уравнение вида
(7.3)
Применим в уравнении (7.3) подстановку
, 
, 
Тогда получим уравнение с разделяющимися переменными
,
которое всегда интегрируется в квадратурах:
,
.
После интегрирования надо сделать обратную замену, то есть вместо и нужно подставить 
Вывод. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка всегда сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными подстановкой ,.
Пример 7.6. Найти общее решение уравнения
Решение. Применим подстановку ,. Тогда получим
,
, 
,
, 
,
.
Пример 7.7. Решить задачу Коши
, у(1)=2.
Решение. Поскольку обе функции
однородные измерения два, то данное уравнение однородное. Запишем его в виде
и применим подстановку ,. Тогда получим
, 
, 
, 
.
Из начального условия найдём постоянную интегрирования:
Подставив найденное значение С в общее решение, получим решение задачи Коши:
Лекция 16. Тема – Уравнения Бернулли. Комплексные числа. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
План.
1.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли.
2. Комплексные числа.
3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
1. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида
(7.4)
где 
- известные функции переменной х.
Термин «линейное уравнение» поясняется тем, что неизвестная функция у и её производная у’ входят в уравнение в первой степени, то есть линейно.
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка всегда интегрируемо в квадратурах, поскольку его можно всегда свести к двум уравнениям с разделяющимися переменными таким образом (методом Бернулли).
Будем искать решение уравнения (7.4) в виде произведения
(7.5)
где 
- неизвестные функции х. Находя производную
и подставляя значение у и у’ в уравнение (7.5), получим
(7.6)
Выберем функцию 
так, чтобы выражение в скобках равнялось нулю. Для этого надо решить уравнение с разделяющимися переменными.
Решая его, находим
. (7.7)
Постоянную интегрирования в выражении (7.7) не пишем, поскольку нам достаточно найти только какую-нибудь одну функцию , которая преобразовывает в ноль выражение в скобках в уравнении (7.6).
Подставляя (7.7) в (7.6), получим
(7.8)
Подставляя (7.7) и (7.8) в (7.5), найдём общее решение уравнения (7.4):
(7.9)
Замечание. На практике помнить формулу (7.9) не обязательно: достаточно лишь помнить, что линейные дифференциальные уравнения первого порядка, а также уравнения Бернулли, решаются методом Бернулли с помощью подстановки 
.
Уравнением Бернулли называется уравнение вида
где 
- известные функции х, 
.
Похожие работы
... (x, y) выполняется неравенство: . При этом, т. е. приращение функции > 0. Определение 3: Точки локальных минимума и максимума называются точками экстремума. Условные Экстремумы При отыскании экстремумов функции многих переменных часто возникают задачи, связанные с так называемым условным экстремумом. Это понятие можно разъяснить на примере функции двух переменных. Пусть заданы функция ...
... p и q, получим некоторые наборы (в зависимости от p и q) на которых функция достигает максимума. 3. Решение задачи с использованием метода покоординатного спуска 3.1 Описание метода покоординатного спуска Изложим этот метод на примере функции трех переменных . Выберем нулевое приближение . Фиксируем значения двух координат . Тогда функция будет зависеть только от одной переменной ; ...
... , Флетчера-Ривса). Методы второго порядка, использующие, кроме того, и информацию о вторых производных функции f (x) (метод Ньютона и его модификации). Метод конфигураций (Хука - Дживса) Следует выделить два этапа метода конфигураций: 1) исследование с циклическим изменением переменных и 2) ускорение поиска по образцам. Исследующий поиск начинается в точке х0, называемой старым базисом. ...
... , что и ошибки эксперимента, то итерации надо прекращать. Поскольку вблизи минимума чаще всего ~, то небольшая погрешность функции приводит к появлению довольно большой области неопределенности ~. 2. Минимум функции многих переменных 2.1 Рельеф функции Основные трудности многомерного случая удобно рассмотреть на примере функции двух переменных . Она описывает некоторую поверхность в ...
0 комментариев