Производная в направлении вектора, перпендикулярного градиенту, равна нулю
ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Интегралы вида
Если т и М – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x), на отрезке [a;b], то
Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы ІІ рода)
Дифференциальное уравнение вида
Комплексным числом называется выражение
Уравнение вида
Конечное количество членов ряда на его сходимость не влияет
Навигация
Интегралы вида
Функция многих переменных
40147
знаков
0
таблиц
0
изображений
2. Интегралы вида
где R – рациональная функция, p
, q - целые числа, сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью подстановки
=t
,
где п – общий знаменатель дробей 
,
,… .
3. Интегралы вида
(6.1)
всегда сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью, так называемой, универсальной тригонометрической подстановки
, 
, 
,
х=2arctgt, dx=
.
Замечание. Универсальная тригонометрическая подстановка всегда приводит к цели, но в силу своей универсальности она часто требует неоправданно громоздких вычислений. Поэтому во многих случаях удобнее пользоваться другими подстановками. Рассмотрим некоторые из них.
1) Если в интеграле (6.1) R(-sin x, cos x)= - R(sin x, cos x), то удобно делать подстановку cos x=t.
2) Если R(sin x,-cos x)= - R(sin x, cos x), то удобно делать подстановку sin x=t.
3) Если R(-sin x, -cos x)= R(sin x, cos x), то удобно делать подстановку
tg x=t, 
, 
,
х=arctgt, dx=
.
4. Рассмотрим более детально интегралы вида
,
где т, п – целые числа.
1) Если т – нечётное положительное число, то удобно делать подстановку cos x=t.
2) Если п – нечётное положительное число, то удобно делать подстановку sin x=t.
3) Если оба показателя т и п – чётные неотрицательные числа, то надо делать понижение степени синуса и косинуса по формулам
, 
.
4) Для нахождения интегралов вида
, 
удобно пользоваться формулами
5. В интегралах
, 
, 
, 
надо подынтегральную функцию записать в виде суммы функций с помощью формул
Лекция 14. Тема – Задача о площади криволинейной трапеции. Определённый интеграл его геометрический смысл и свойства.
Формула Ньютона-Лейбница.
План.
1. Задача о площади криволинейной трапеции. Определение и существование определённого интеграла.
2. Геометрический смысл определённого интеграла. Свойства определённого интеграла.
3. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
1. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная линией у= f(x) и прямыми х=а, х=b, у=0. Будем считать, что f(x)
на [a;b].
у у= f(x)
0 а х
х
х b x
Разобьём отрезок [a;b] произвольным образом на п частей точками а=х
<x<…< х< х<… <х
=b.
На каждом отрезке [х; х] возьмём произвольную точку и вычислим значение f(). Тогда площадь Sзаштрихованного прямоугольника, будет равна
S= f()
, где = х- х.
Площадь S всей трапеции приблизительно равна
S
.
Пусть 
. Естественно считать, что
S
.
(6.2)
К пределам вида (6.2) приводят много других задач, поэтому возникает необходимость всестороннего изучения таких пределов независимо от конкретного содержания той или иной задачи.
Пусть функция у= f(x) определена на отрезке [a;b]. Разобьём этот отрезок на п произвольных частей точками
а=х<x<…< х
< х<… <х=b.
На каждом из созданных отрезков [х; х] возьмём произвольную точку и составим сумму
, где = х- х,
которую будем называть интегральной суммой функции f(x).
Обозначим . Если существует конечный предел интегральной суммы 
, при 
, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [a;b], ни от выбора точек, то этот предел называется определённым интегралом функции f(x) на отрезке [a;b] и обозначается символом
, где функция f(x) называется интегрированной на отрезке [a;b].
То есть, по определению,
=
.
Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределом интегрирования.
Относительно существования определённого интеграла имеет место такая теорема
Теорема 6.3. Если функция f(x) ограничена на отрезке [a;b] и непрерывна на нём везде, кроме конечного числа точек, то она интегрируема на этом отрезке.
2. Если f(x), то равен площади соответствующей криволинейной трапеции: =S. Если f(x)<0, то = -S.
Отсюда следует, что если на симметричном относительно начала координат отрезке [-a;а], а>0 задана нечётная функция, то
=0. Например, 
Если функция f(x) чётная, то =2
.
Свойства определённого интеграла
Будем считать, что все интегралы, которые рассматриваются, существуют.
1. =
. Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования.
2. 
=0.
3. = -
.
4. =
+
.
5. 
=А.
6. 
=
.
7. Если на отрезке [a;b] f(x)
, то 
.
Похожие работы
... (x, y) выполняется неравенство: . При этом, т. е. приращение функции > 0. Определение 3: Точки локальных минимума и максимума называются точками экстремума. Условные Экстремумы При отыскании экстремумов функции многих переменных часто возникают задачи, связанные с так называемым условным экстремумом. Это понятие можно разъяснить на примере функции двух переменных. Пусть заданы функция ...
... p и q, получим некоторые наборы (в зависимости от p и q) на которых функция достигает максимума. 3. Решение задачи с использованием метода покоординатного спуска 3.1 Описание метода покоординатного спуска Изложим этот метод на примере функции трех переменных . Выберем нулевое приближение . Фиксируем значения двух координат . Тогда функция будет зависеть только от одной переменной ; ...
... , Флетчера-Ривса). Методы второго порядка, использующие, кроме того, и информацию о вторых производных функции f (x) (метод Ньютона и его модификации). Метод конфигураций (Хука - Дживса) Следует выделить два этапа метода конфигураций: 1) исследование с циклическим изменением переменных и 2) ускорение поиска по образцам. Исследующий поиск начинается в точке х0, называемой старым базисом. ...
... , что и ошибки эксперимента, то итерации надо прекращать. Поскольку вблизи минимума чаще всего ~, то небольшая погрешность функции приводит к появлению довольно большой области неопределенности ~. 2. Минимум функции многих переменных 2.1 Рельеф функции Основные трудности многомерного случая удобно рассмотреть на примере функции двух переменных . Она описывает некоторую поверхность в ...
0 комментариев