Навигация
Применение интеграла от монотонных функций к доказательству неравенств
33097
знаков
0
таблиц
0
изображений
2.1. Применение интеграла от монотонных функций к доказательству неравенств
Если 
при 
, то 
равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции 
, отрезком [a,b] оси x и перпендикулярами к оси x в точках a и b.
Пусть функция f положительна, непрерывна и возрастающая на [a,b]. Разобьем отрезок [a,b] на n частей точками 
.
Сумма
равна сумме площадей прямоугольников, построенных на отрезках 
как на основаниях, с высотами 
, т.е. равна площади ступенчатой фигуры «вписанной» в криволинейную трапецию. Так как функция f возрастает, то эта площадь меньше площади криволинейной трапеции. Отсюда
(2.1)
Аналогично, рассматривая площадь «описанной» ступенчатой фигуры, получаем
(2.2)
Если функция f положительна, непрерывна и убывающая на [a,b], то
(2.3)
Покажем на ряде примеров, как соотношения (2.1)-(2.3) используются при доказательстве неравенств.
Задача 2.1. Доказать, что если 
, то 
.
Решение.
Выражение 
совпадает с левой частью неравенства (2.1), где 
. Функция 
на интервале 
возрастает, непрерына, положительна. Поэтому, согласно (1), 
. Функция 
является первообразной для функции , так как
. Поэтому 
. Левая часть двойного неравенства доказана. Правая часть получается из соотношения (2.2) для функции при тех же предположениях.
При решении задачи 1 мы использовали тот факт, что площадь криволиней-ной трапеции, ограниченной графиком непрерывной, положительной, возрастаю-щей на [a,b] функции , отрезком [a,b] оси x и прямыми 
, заключена между площадями прямоугольников, построенных на [a,b] как на основании, с высотами 
и 
соответственно.
Площади прямоугольников дают, вообще говоря, довольно грубые приближения для площади криволинейной трапеции. Более точные оценки получаются путем разбиения отрезка [a,b] на достаточно большое число частей.
Задача 2.2. Пусть 
. Доказать, что для каждого 
.
Решение.
Рассмотрим 
и функцию 
. Она непрерывна, положительна и убывающая. Воспользуемся неравенством (2.3), где 
. (Точки 
делят отрезок 
на отрезки одинаковой длины 
). Получим
Отсюда 
. Кроме того,
, т.е.
.
В приведенном решение выражение для 
легко представлялось в виде площади некоторой ступенчатой фигуры. Чтобы воспользоваться рассмотренным в задаче методом доказательства неравенств, чаще приходится предварительно преобразо-вывать выражения, встречающиеся в неравенствах.
Задача 2.3. Доказать, что для каждого натурального n 
.
Решение.
Левую часть неравенства при 
можно представить в следующем виде:
Рассмотрим функцию 
на отрезке 
.Этот отрезок точками 
, разбивается на n равных частей длины 1. Выражение
равно сумме площадей прямоугольников, построенных на отрезках 
как на основаниях с высотами 
. Функция 
при
положительна, непрерывна, убывающая. Поэтому можно воспользоваться неравенством (2.3). Имеем 
Заметим, что при 
неравенство очевидно.
Похожие работы
... сформулированной гипотезы необходимо было решить следующие задачи: 1. Выявить роль тригонометрических уравнений и неравенств при обучении математике; 2. Разработать методику формирования умений решать тригонометрические уравнения и неравенства, направленную на развитие тригонометрических представлений; 3. Экспериментально проверить эффективность разработанной методики. Для решения ...
... точек координатной оси. Занятие № 4. Тема: Аналитический метод. Метод «ветвлений». Цель занятия: познакомить учеников с основным методом решения уравнений, содержащих параметр. Литература для учителя: см. [1] , [5], [6], [7], [14] Литература для ученика: см. [3] Краткое содержание: рассмотрение различных значений, принимаемых параметром. Упрощение уравнения и приведение уравнения к произведению ...
... по алгебре и началам анализа, при подготовке к государственной итоговой аттестации, внешнему независимому оцениванию. Достаточно большое число задач раскрывают потенциальные возможности анализа бесконечно малых величин. 1. Производная и ее применение для решения прикладных задач 1.1 Исторические сведения Ряд задач дифференциального исчисления был решен еще в древности. Они встречались у ...
... выше теорема свидетельствует о важности априорных оценок для доказательства теорем существования и единственности решений. Глава 2. Приложение Пример 1. Рассмотрим интегральное уравнение с малым вещественным параметром λ: (1) Это уравнение вида А()х = у() – операторное уравнение в С[-π; π], где Покажем, что А() аналитична в т. 0, т.е. разлагается в ряд вида . Разложим функцию ...
0 комментариев