Размерность многообразия k-плоскостей

2. Размерность многообразия k-плоскостей

Найдём размерность Р_n,k, многообразия всех k-плоскостей

n-пространства.

Прежде всего заметим, что число параметров, от которых зависят k+1 точек M₀, M₁, …, M_k n – пространства с линейно независимыми векторами , через которые проходит единственная k-плоскость, равно числу координат, этих точек, т. е. (k +1)n. Далее заметим, что число параметров, от которых зависят те же точки на k-плоскости, равно числу параметров  этих точек, т. е. (k +1)k. Так как в n-пространстве, число параметров, от которых зависят точки  равно сумме числа Р_n,k и числа параметров, от которых зависят точки  на k-плоскости, то получим, что

, т. е.

. (6. 7)

1. Полуплоскости и параллелепипеды

Если в уравнении

 (7. 1)

k-плоскости придавать одному из параметров t^b только неотрицательные значения , а остальным параметрам – произвольные действительные значения, мы получим k-полуплоскость, ограничиваемую (k-1)-плоскостью,

 (7. 2)

Если в том же уравнении (7. 1) придать всем параметрам  только значения , мы получим k-параллелепипед с вершинами

;

2-параллелепипеды называются параллелограммами.

Условимся называть k-параллелепипед с вершинами А₀, А₁, А₂, …, А_12…k параллелепипедом А₀ А₁ А₂ … А_12…k.

На рисунке 22 изображён 3-параллелепипед

А₀ А₁ А₂ А₃ А₁₂ А₁₃ А₁₂₃

и параллелограмм А₀ А₁ А₂ А_12.

  а) б)

Рис. 22

2. Грани параллелепипеда

Придавая в уравнении (7. 1) значения  всем параметрам  при , а параметру  - значения  или , мы получим (k - 1)-параллелепипеды, являющиеся гранями k-параллелепипеда. Грани этих (k- 1)-параллелепипедов называются (k - 2)-гранями k-параллелепипеда, грани этих (k–3)-гранями k-параллелепипеда и т. д. Таким образом, k-параллелепипед обладает р – гранями, где р – пробегает значения от 0 до k – 1, 0-грани параллелепипеда совпадают с его вершинами, 1-грани называются рёбрами (при m= 2 - сторонами). На рисунке 22 (а) стороны параллелограмма – четыре отрезка А₀ А₁, А₀ А₂, А₀ А₃, А₀ А₁₂, А₁ А₁₃, А₂ А₁₂, А₂ А₂₃, А₃ А₁₃, А₁₂ А₁₂₃, А₁₃ А₁₂₃, А₂₃ А₁₂₃; 2-грани - шесть параллелограммов А₀ А₁ А₁ А₁₂, А₀ А₁ А₃ А₁₃, А₀ А₂ А₃ А₂₃, А₁ А₁₂ А₁₃ А₁₂₃, А₂ А₁₂ А₂₃ А₁₂₃, А₃ А₁₃ А₂₃ А₁₂₃.

Число  р-граней k-параллелепипеда равно , где  - число сочетаний из k по р.