Навигация
2. Объем симплекса.
Прежде всего покажем, что объем 
произвольного 
- симплекса выражается через объем 
одной из его 
- граней и расстояния 
от вершины, лежащей против этой грани, до плоскости этой грани по формуле
. (8.4)
Если будем называть выделенную -грань - симплекса его основанием, а расстояние - его высотой, то формула (8.4) показывает, что объем - симплекса равен 
произведение его основания на высоту. Пусть основание k – симплекса 
(на рисунке 28 изображается 
при 
)
Проведем плоскость, параллельную плоскости - грани на расстоянии 
от нее. Это плоскость высечет из нашего k – симплекса -симплекс 
и отсечет от него k – симплекс 
, Обозначим -симплекса через 
, то формулу для определения объема k – симплекса можно записать в виде
. (8.5)
Так как k – симплекса 
может быть получен из k – симплекса гомотетией с центром в вершине 
и с коэффициентом 
получается из - грани той же гомотетией. Так как матрица гомотетии, отображающей - грань на - грань 
является матрицей -20 порядка вида 
, определить этой матрицы равен 
и объем 
может быть записан в виде
.
Поэтому
.
Применяя формулу (4) к объему - грани, выразим этот объем через объем 
одной из ее 
- граней и соответственную высоту 
этой - грани. Аналогично выразим объемы , 
, … , 
и площадь 
, вложенных друг в друга - грани, 
- грани, …, 3-грани и 2-грани симплекса через объемы , …, , площадь и длину 
одного из ребер - симплекса и соответственные высоты 
, 
, … , 
этих граней, получим что
.
В том случае, когда k – симплекс определяется уравнением (1), где 
, произведение 
… равно объему k – параллелепипеда, определяемого уравнением
с векторами 
при 0
, поэтому объем 
k – симплекса связан с объемом 
соответствующего k – параллелепипеда соотношением
=
. (8.6)
Так как квадрат объема в силу (7.6 из § 7) равен определителю Грамма, составленному из вектора , из формулы (8.6) вытекает, что объем k – симплекса, определяемого уравнением (8.1), где 
, определяется соотношением
(8.7)
Объем 
– симплексa, определяемого уравнением (8.1) при = , где , равен
=
, (8.8)
квадрат косого произведения (
) равен определителю Грамма, составленному из векторов .
Похожие работы
... работы австрийского геометра Эрвина Круппа, получившие развитие в трудах русских ученых Н.А. Глаголева, Н.Ф. Четверухина. В середине XIX века зарождается и получает развитие начертательная геометрия многих измерений - многомерная геометрия. Итальянский математик Веронезе и голландский ученый Скаутте дают начало этому новому направлению. В России многомерная начертательная геометрия развивалась в ...
... рода: перейти к новому образу рациональности. На смену диалектике "единства противоположностей" (как в гегелевской, так и в марксистской ее интерпретации) приходит интервальная диалектика постижения многомерного мира. "Синтез противоположностей" заменяется конструированием соответствующих конфигураций интервалов. В истории познавательного освоения мира человеком можно встретить различные случаи ...
Многомерная онтология предметов материальной культуры и ее применение в сложных технических системах
... временные и пространственные отличие установлены, таково и само нечто. Подобного же необходимого порядка мы ждем и от категориальной системы, классифицирующей сложные предметы материальной культуры. 2. Концепция многомерной онтологии. Прежде чем вернуться к техническим предметам материальной культуры, мы рассмотрим традиционную онтологию. Мы ждем, что эта традиция укажет ориентиры и нашему ...
... нельзя дать единое определение основных понятий для всех геометрий, то основные понятия геометрии следует определить как объекты любой природы, удовлетворяющие аксиомам этой геометрии. Таким образом, при аксиоматическом построении геометрической системы мы исходим из некоторой системы аксиом, или аксиоматики. В этих аксиомах описываются свойства основных понятий геометрической системы, и мы можем ...
0 комментариев