Аффинность k – симплексов

3.  Аффинность k – симплексов.

Если даны два произвольных k – симплекса  и , то системы их вершин определяют аффинное преобразование, переводящее первую из этих систем вершин во вторую.

Так как при аффинном преобразовании плоскости переходят в плоскости, это аффинное преобразование переводит весь k – симплекс  в k – симплекс . Поэтому всякие два k – симплекса аффинны.

Относительный объем k – симплекса, определяемого уравнением (8.1) при = , где , выражается по формуле при аффинном преобразовании с оператором  умножается на определитель матрицы оператора , получаем, что при аффинном преобразовании относительные объемы всех k – симплексов умножаются на определитель матрицы этого аффинного преобразования, т.е. если k – симплекс с относительным объемом  переходит при аффинном преобразовании с матрицей  в k – симплекс с объемом , то, так же как в случае k – параллелепипедов,

=. (8.9)

Отсюда вытекает, что отношения объемов k – симплексов не изменяются при аффинных преобразованиях.

Правильный k – симплекс

Определение правильных многоугольников и многогранников позволяет определить правильный k – симплекс.

Прежде всего построим правильный k – симплекс. Правильный k – симплекс при  = 2 – равносторонний треугольник. Равносторонний треугольник  с центром в начале координат и со стороной  на прямой  имеет вершины в точках с координатами ,  и .

Рис. 29

Для построения правильного k – симплекса  с центром в начале системы прямоугольных координат и с гранью  на плоскости  предположим, что мы построили аналитичный правильный - симплекс.

Так как центр О k – симплекса делит отрезок прямой  между точкой  и плоскостью  в отношении : 1, а прямая  совпадает с -ой координатной осью, вершина  имеет координаты (0, 0, 0, …); -е координаты вершин  равны – 1, а первые -1 координаты этих вершин можно получить из координат вершин (-1) - симплекса  умножением их на такой множитель , чтобы все расстояния , , …, ==

Расстояние от центра построенного - симплекса  до его (-1) – граней равно 1, а расстояние от того же центра до вершин этого - симплекса равно . Длина каждого из ребер этого - симплекса равна .

Из определения правильного - симплекса видно, что все - грани правильного - симплекса являются правильными - симплексами.

 Рис.30

На рисунке изображен правильный (-1) – симплекс (= 4)

Объем правильного - симплекса.

Вычислим объем построенного правильного симплекса. Так как объем основания этого - симплекса равен произведению , а высота этого - симплекса равна +1, получаем, что

.

.

При = 2 формула дает нам .

При = 3 формула .

Объем правильного - симплекса, (-1) – грани которого находятся на расстоянии  от его центра, равен

.

Называть k-мерной сферой евклидова k-пространства или k-сферой этого пространства множество всех точек этого пространства, лежащих в одной (k + 1)-плоскости и отстоящих от данной точки, называемой центром k-сферы, на одном и том же расстоянии, называемом радиусом k-сферы.

При k = n – 1 k-сфера определяется как множество всех точек пространства, отстоящих от одной точки на одном и том же расстоянии: в дальнейшем, говоря «сфера», будем иметь в виду (n – 1)-сферу. При k = 1, k-сфера называется окружностью.

Если радиус (k– 1)-сферы равен R, то множество всех точек k-плоскости этой (k– 1)-cферы, находящихся от центра (k– 1)-cферы на расстоянии , называется k-шаром. При k = n n-шар определяется как множество всех точек n-пространства, отстоящих от центра сферы на расстоянии . В дальнейшем, говоря «шар», будем иметь в виду n-шар. При k = 2 k-шар называется кругом.

Если центр сферы – точка М₀(х₀), а радиус равен R (рис. 31), радиус-вектор х произвольной точки М сферы связан условием, состоящим в том, что расстояние М₀М равно R. Так как это расстояние равно модулю вектора , т. е. , то уравнение сферы с центром в точке М_0, и радиусом R имеет

  (9. 1)

или, после возведения обеих частей уравнения (9. 1) в квадрат

  (9. 2)

Рис. 31

Уравнению (9. 2) не удовлетворяет радиус-вектор ни одной точки, для которой расстояние М₀М не равно R, так как и расстояние М₀М и радиус R – положительные числа.

Уравнение (9. 2) называется векторным уравнением сферы. Это уравнением сферы. Это уравнение является частным случаем векторного уравнения поверхности. Поэтому сфера является частным случаем уравнения поверхности, так как k-сферу можно рассматривать как сферу в (k + 1)-пространстве.

Так как k-сфера с центром в точке М₀(х₀) и радиусом в некоторой (k + 1)-плоскости является пересечением сферы с тем же центром и радиусом с указанной (k + 1)-плоскостью, уравнениями k-сферы является уравнение (9. 2) сферы с тем же центром и радиусом и уравнения (k + 1)-плоскости.

Если центр сферы находится в начале, х₀=0, то уравнение (9. 2) примет вид

  (9. 3)

Уравнение (9. 2) можно переписать в виде

  (9. 4)

или, умножая обе части этого равенства на число а, в виде

  (9. 5)

Вектор  и число с в уравнении (9. 5) связаны с радис-вектором х₀ центра сферы и её радиусом R соотношениями

 , (9. 6)

Поэтому, если дано уравнение (9. 5) сферы, то центр и радиус этой сферы определяются соотношениями.

 ,  (9. 7)

Уравнение (9. 5) при а = 1, т. е. уравнение

  (9. 8)

называется нормальным уравнением сферы. В случае нормального уравнения сферы соотношения (9. 7) показывает, что, для того чтобы уравнение (9. 5) было уравнением сферы, необходимо выполнение неравенства

  (9. 9)

В случае, когда , уравнению (9. 5) удовлетворяет только одна точка М₀(х₀), которую можно рассматривать как сферу нулевого радиуса. Для того, чтобы общее уравнение второй степени было бы уравнением сферы, необходимо выполнение неравенства, равносильного неравенству (9. 9).

Геометрия k-сфер