Объём прямоугольного параллелепипеда

3. Объём прямоугольного параллелепипеда

Определим объём прямоугольного k-параллелепипеда, то есть такого k-параллелепипеда, у которого все векторы р_а попарно перпендикулярны. Длина любого отрезка прямоугольного k – параллелепипеда называется его измерением.

Объём прямоугольного k-параллелепипеда называется его измерением.

Объём прямоугольного k-параллелепипеда только постоянным множителем отличается от произведения его измерений, т. е. функция  отличается от произведения  измерений прямоугольного параллелепипеда только постоянным множителем .

В дальнейшем будем считать этот постоянный множитель равным 1, то есть будем считать, что объём V_k прямоугольного k –параллелепипеда равен произведению его измерений.

 (7. 4)

4. Объём произвольного параллелепипеда

Сравнивая прямоугольные k-параллелепипед и (k–1)-параллелепипед с объёмами, равному данному k-параллелепипеду и одной из его граней мы получим, что объём V_k k-параллелепипеда равен произведению объёма V_k-1 одной из его (k–1)-граней на расстояние h_k между этой гранью и параллельной ей (k–1)-гранью.

 (7. 5)

Если назвать выделенную (k–1)-грань k-параллелепипеда его основанием, а расстояние h_k его высотой, то формула (7. 5) показывает, что объём k-параллелепипеда равен произведению объёма его основания на высоту.

Объём V_k k-параллелепипеда, определяемого уравнением , при , определяется соотношением

,

т. е. квадрат объёма этого параллелепипеда равен определителю Грамма, составленному из k векторов р_а.

Утверждение очевидно при k =1, когда параллелепипед совпадает с отрезком, определяемым вектором р₁, и объём этого параллелепипеда совпадает с длиной этого отрезка , т. е. .

Рассмотрим теперь k-параллелепипед и предположим, что наше утверждение справедливо для его (k – 1)-граней. Рассмотрим его (k – 1)-грань, определяемую уравнением , при  и . Тогда скалярный квадрат векторного произведения  в k-плоскости k-параллелепипеда, равный определителю Грамма, составленному из k–1 векторов  (а < k), равен объёму этой (k – 1)-грани. Так как объём V_k k-параллелепипеда равен произведению объёма V_k-1 этой (k–1)-грани на соответствующую высоту h_k , то объём V_k равен

 , (7. 7)

где j - угол между вектором р_k и перпендикуляром к (k–1)-грани в k-плоскости k-параллелепипеда.

5. Аффинность k-параллелепипедов

Если даны два произвольных k-параллелепипеда А₀ А_1… А_k… А_12…k и

В₀ В_1… В_k… В_12…k, то системы точек А_0, А_{1, … ,}А_k и В_0, В_{1, … ,}В_k определяют аффинное преобразование, переводящее первые из этих точек во вторые. Так как при аффинном преобразовании плоскости переходят в плоскости, а параллельные плоскости в параллельные плоскости, это аффинное преобразование переводит весь k- параллелепипед А₀ А_1… А_k… А_12…k в k-параллелепипед В₀ В_1… В_k… В_12…k. Поэтому всякие два k-параллелепипеда аффинны.

Относительный объём k-параллелепипеда, определяемого уравнением  и , при аффинном преобразовании относительные величины преобразуются по формуле, то есть умножается на определитель матрицы этого аффинного преобразования, если k-параллелепипед с объёмом V_k переходит при аффинном преобразовании с матрицей  в k-параллелепипед с объёмом , то

 (7. 8)

Отсюда вытекает, что отношения относительных объёмов k-параллелепипедов не изменяются при аффинных преобразованиях.

Выпуклые многогранники

В этом пункте будем рассматривать действительное k-мерное аффинное пространство , считая, что в нем дана аффинная система координат.

Пусть через некоторую точку  имеющую координаты , проведена прямая в направлении вектора , координаты которого обозначим . Согласно изложенному ранее эту прямую можно задать параметрическими уравнениями

, . (7.9)

.

Пусть на прямой (9) выбраны какие-нибудь точки  и . Соответствующие им значения параметра  обозначим  и . Предположим, что  < .

Определение. Множество точек прямой, удовлетворяющих неравенством   , называется отрезок .

Если точка  имеет координаты , точка  имеет координаты , то в качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор . Тогда , и для точки прямой имеем

, причем  = 0 в точке ,  = 1 в точке , так что отрезок  задается теперь неравенствами 0    1. Положим 1  = ,  = . Тогда для точек отрезка  и только для них имеем , , (7.10)

, , .

Точка, в которой , называется серединой отрезка .

Определение. Множество точек действительного аффинного пространства называется выпуклым, если вместе с каждыми двумя своими точками , оно содержит отрезок .

Простейшими примерами выпуклых множеств могут служить: отрезок, плоскость любой размерности, все пространство .

Множество, состоящее из одной точки, и пустое множество также считается выпуклыми.

Из определения следует, что пересечение любой совокупности выпуклых множеств само является выпуклым множеством. В самом деле, если точки , принадлежат пересечению некоторой совокупности выпуклых множеств, то отрезок  принадлежит каждому из них множеств, а значит, и их пересечению.

Пусть в пространстве  дана произвольная гиперплоскость

. (7.11)

Гиперплоскость (11) развивает пространство на две части, называемые открытыми полупространствами. Их точки характеризуются неравенствами

 и  соответственно. (7.12)

Присоединяя к открытому полупространству гиперплоскость (11), мы получим так называемое замкнутое полупространство. Одно из них состоит из точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам.

Существенно, что рассматриваемое пространство является действительным.

Каждое полупространство является выпуклым множеством.

Таким образом произвольная точка  принадлежит пространству (7, 12). Но точка  на отрезке  взята произвольно, значит, весь отрезок  принадлежит пространству.

Определение. Пересечение конечного числа полупространств (если оно не пустое) называется выпуклым многогранником.

Ограничимся рассмотрением многогранников, образованных пересечением замкнутых полупространств. С наглядной точки зрения выпуклый многогранник представляет собой кусок пространства, высеченный несколькими гиперплоскостями. (=3).

 Рис. 23 Рис. 24

Может быть так, что многогранник целиком содержится в некоторой -мерной плоскости <  (при = 3, = 2).

Многогранник называется -мерным параллелепипедом, если в некоторой аффинной системе координат он задается неравенствами

0    1,  и построен на независимых векторах , приложенных к точке .

Где  - начало в координатах, и  - базис. -мерный параллелепипед при = 1 представляет собой отрезок, при = 2 – параллелограмм.

Часть параллелепипеда (0    1, ), расположенная в какой-нибудь из гиперплоскостей  = 0 или = 1, сама является (- 1)-мерным параллелепипедом и называется (- 1)-мерной гранью параллелепипеда.

Пример. В трехмерном евклидовом пространстве с заданной декартовой прямоугольной системой координат () рассмотрим прямоугольные параллелепипеды, ребра которых параллельны координатным осям. Пусть () – координаты центра параллелепипеда,  – длины его ребер, параллельных осям  соответственно. Обозначим через  множество тех параллелепипедов указанного вида, центры которых лежат в кубе , , , длины ребер не превышают . Каждому параллелепипеду из множества  можно поставить в соответствие точку шестимерного аффинного пространства  с координатами (, ). Тогда само множество  можно рассматривать как шестимерный параллелепипед.

   ,    ,    ,

   ,    ,    .

Затем, что геометрические фигуры одного пространства часто бывает удобно рассматривать как точки другого пространства.

Определение. Множество точек в аффинном пространстве  называется ограниченным, если координаты всех точек этого множества удовлетворяют неравенству  (> 0 – некоторое число).

Это определение не зависит от выбора аффинной системы координат. Множество ограниченно в том и только в том случае, если оно содержится в некотором параллелепипеде.

Определение. Выпуклой оболочкой множества  точек в аффинном пространстве  называется такое выпуклое множество , которое содержится в любом выпуклом множестве, содержащем .

Пример. 1) Выпуклой оболочкой двух точек , является отрезок .

2) Выпуклая оболочка любого конечного числа точек является ограниченным выпуклым многогранником, а конечная система точек – его вершинами.

Пусть в аффинном пространстве  даны точки  с радиус-векторами  соответственно.

Определение. Выпуклая оболочка системы точек , находящихся в общем положении, называется -мерным симплексом с вершинами .

Симплекс с вершинами  при . При этом числа  называются барицентрическими координатами точки симплекса, имеющей радиус-вектор .

Частные случаи:

нульмерный симплекс – одна точка;

одномерный симплекс - отрезок;

двумерный симплекс – треугольник;

трехмерный симплекс – треугольная пирамида.

Точка симплекса, в которой все барицентрические координаты равны между собой , называется центром симплекса.

Пусть  - симплекс с вершинами ; и пусть  - какой-нибудь из его вершин. -мерный симплекс, который является выпуклой оболочкой вершин  называется -мерной гранью симплекса . Одномерные грани, то есть отрезки, соединяющие вершины, называются ребрами симплекса.

Две грани размерности  и  -  называются противоположными гранями симплекса , если они не имеют общих вершин.

В качестве упражнений докажем, что симплекс является выпуклой оболочкой пары противоположных граней, и что противоположные грани симплекса всегда располагаются в скрещивающихся плоскостях и что отрезок, соединяющий центры противоположных граней, проходит через центр симплекса.

Докажем, что -мерный симплекс в -мерном пространстве представляет собой пересечение замкнутых подпространств в числе  .

Пусть  - вершины симплекса . Примем  за начало координат, базис выберем следующим образом:

, , …, .

Тогда соотношения при  в координатах примут вид

 (7.13)

откуда следует, что

 (7.14)

С другой стороны, из (7.14) вытекает (7.13),если положить  для , . Таким образом, системы (7.13) и (7.14) эквивалентны и задают один и тот же симплекс . (при =3).

Рис. 26

Система неравенств (7.14) показывает, пересечением каких полупространств образован симплекс .

Выше говорилось, что многогранник можно представить в виде куска пространства, «высеченного» несколькими гиперплоскостями.

Отметим попутно, что слово «симплекс» (simplex) в переводе с латинского означает «простой».

В следующем параграфе данной главы состоится знакомство с -симплексами в пространстве.

§8. K-симплексы в пространстве