Разбиение области в фазовой плоскости на траектории

5. Разбиение области в фазовой плоскости на траектории

Некоторые элементарные сведения о траекториях.

Лемма 6. Всяким двум решениям, отличающимся только выбором начального значения t₀, соответствует одна и та же траектория.

В другой терминологии — «положением равновесия» или «точкой покоя».

Доказательство. В силу лемм 1 и 2 всякие два решения, отличающиеся выбором начальных значений t₀ (но имеющие одни и те же Начальные значения ), могут быть получены одно из другого заменой t на t + С. Но если даны два решении

(15)

(16)

причем решение (15) определено на интервале (, Т), а решение (16) — на интервале ( — С, Т — С), то, очевидно, им соответствует одна и та же траектория (так как замена в (15) t через t +С является просто заменой обозначении переменного). Лемма доказана.

Теорема 3. Через каждую точку области G проходит одна и только одна траектория динамической системы (1).

Доказательство. Пусть М₀ (х₀, у₀) — произвольная точка области G.

Тогда в силу теоремы 1 (о существовании и единственности решения) при всяком t существует решение, соответствующее начальным значениям t₀, x₀,

Это, очевидно, и означает, что через точку х₀, у₀ проходит хотя бы одна траектория L.

Предположим теперь, что через одну и ту же точку М₀ (х₀, у₀) области G проходят две различные траектории L и L*.

Пусть

— решение, соответствующее траектории L*. Это решение, очевидно, непременно должно быть таким, чтобы при некотором значении t = t* мы имели бы

но тогда в силу леммы 2 при надлежащем выборе С мы должны иметь

и, следовательно (см. лемму 6), траектории L и L* вопреки предположению не могут быть различны. Теорема доказана.

Замечание 1. Из проведенного в теореме рассуждения непосредственно вытекает, что всякие два различных решения, соответствующих одной и той же траектории, получаются друг из друга заменой t на t +С, т. е. отличаются друг от друга только выбором начального значения t₀ (см. лемму 2).

Замечание 2. Пусть при каком-либо выборе решения, соответствующего траектории L, точке М₀ этой траектории соответствует значение t₀, а точке M₁ — значение t₀ +. Тогда из замечания 1 следует, что если при некотором другом выборе решения, соответствующего траектории L, точке М₀ соответствует значение t*, то значению t* + соответствует точка .

Замечание 3. Если траектория целиком лежит в ограниченной замкнутой области  с G, то в силу теоремы 2 соответствующее ей решение определено при всех значениях

t (< t < )

В силу теоремы 3 динамическая система, заданная в области G, определяет некоторое семейство траекторий или, как мы будем говорить, некоторое разбиение области G на траектории.

Мы укажем здесь некоторые основные свойства траекторий. Выше мы уже останавливались на одном частном типе траекторий, именно, на состояниях равновесия.

Как мы видели, х = а, y=b тогда и только тогда является состоянием равновесия, когда выполняются условия Р(а, b) = Q(a, b) = 0.

Предположим теперь, что траектория L, соответствующая решению

не является состоянием равновесия. Во всех точках такой траектории, очевидно, выполняется неравенство

Действительно, если бы в какой-нибудь точке М*(х*, у*) траектории L, соответствующей значению t*, имело место равенство

т. е. одновременно

и это, очевидно, означало бы, что точка х*, у* является состоянием равновесия. Но состояние равновесия само является отдельной траекторией, и в силу теоремы 3 точка М* (х*, у*) не может принадлежать отличной от состояния равновесия траектории L.

Рассмотрим вопрос о том, могут ли быть у траектории, отличной от состояния равновесия, «самопересечения», т. е. возможно ли, чтобы существовали значения t₁ и t₂, t₁ t₂ такие, чтобы соответствующие им точки траектории совпадали.

Ответ на этот вопрос дается следующей леммой:

Лемма 7. Пусть траектория L, соответствующая решению

 ( < t < T), (17)

отлична от состояния равновесия, и пусть существуют значения t, t₁ и t₂ ( < t₁ < t₂ < T) такие, что

Тогда решение (17) определено при всех значениях

t (т. е. )

функции  ,  являются периодическими функциями t, а соответствующая траектория—простой гладкой замкнутой кривой.

Доказательство. Пусть

(18)

Рассмотрим наряду с решением (17) решение

(19)

определенное на интервале

( — С, Т — С)

где С = t₂ — t₁ (см. лемму 1).

Из равенств (18) следует, что решения (17) и (19) удовлетворяют одним и тем же начальным условиям (при t = t₁ , x = х₀ , у =у₀). Но тогда эти решения совпадают, а следовательно, совпадают интервалы значений t, на которых они определены. Но интервалы (, Т) и ( — С, Т — С) при С0 могут совпадать лишь в том случае, когда =-, Т =+.

Таким образом, мы показали, что решения (17) и (19) определены для всех t ( < t < ). Далее, из совпадения решений (17) и (19) следует, что при всех t (— < t < )

(20)

где C = t₂— t₁ >0. Это, очевидно, означает, что функции  (t) и (t)— периодические функции с общим периодом 0 = t₂ — t₁. Пусть

) (21)

— наименьшее положительное число, при котором имеют место равенства

(22)

Такое число непременно существует. Действительно, в противном случае можно было бы указать последовательность положительных чисел {} таких, что

 и

Очевидно, тогда при любом n и любом целом |k|

или, зафиксировав какое-нибудь t₀, можно написать

Таким образом, каждая из функции  (t) и (t) принимает одно и то же значение, равное соответственно  () и () при всех следующих значениях t

где N может быть любым целым числом, а  сколь угодно мало при достаточно большом n. Следовательно, какое бы значение t* мы ни взяли, либо t* =t и тогда , либо t* попадает в некоторый интервал (t₀+(k-1) , t₀ + ) или

(t₀—(k-1) , t₀ --  ) и в силу того, что Q_n сколь угодно мало при достаточно большом n, существуют сколь угодно близкие к t* значения t', при которых

Но тогда в силу непрерывности функций (t), (t) мы, очевидно, также имеем

Это означает, что функции (t), (t)— постоянные, т. е. траектория L состояние равновесия, что противоречит условию теоремы.

Очевидно, все точки траектории L могут быть получены при изменении t в уравнениях (17) от t₀ до t₀ + ₀ (t₀ t  t₀ -₀), где t₀ — любое фиксированное число. Так как по самому определению ₀ есть наименьшее число,при котором выполняются равенства(22),то всяким двум значениям и t", t₀ заведомо соответствуют различные точки траектории L. Это и означает, что траектория L является простой замкнутой кривой. В силу леммы 5 эта замкнутая кривая, очевидно, гладкая. Таким образом, лемма доказана.

Решение, в котором функции  (t) и (t) — периодические функции t, называется периодическим решением. Наименьшее число ₀ > 0, при котором выполняются равенства (22),— периодом этого решения.

Траектория L, соответствующая периодическому решению, называется замкнутой траекторией. Очевидно, все решения, соответствующие данной замкнутой траектории, являются периодическими решениями с одним и тем же периодом. Всякая траектория, не являющаяся замкнутой траекторий или состоянием равновесия, называется незамкнутой траекторией.

Из леммы 7 следует, что у траекторий системы (I) не может быть «самопересечений», т. е. что всякая часть незамкнутой траектории, соответствующая значениям t в любом конечном сегменте, является простой гладкой дугой.

Таким образом, мы получили следующие основные элементарные сведения о траекториях. Траектория может быть: 1) состоянием равновесия, 2) замкнутой траекторией, 3) незамкнутой (несамопересекающейся) траекторией. Эти сведения являются предварительными, так как возможный характер незамкнутых траекторий остается невыясненным.

6. Сопоставление геометрической интерпретации в пространстве R³ и геометрической интерпретации на фазовой плоскости

Как мы уже указывали, каждому решению системы (I) соответствует в интегральная кривая.

Траектория, очевидно, является проекцией этой интегральной кривой на плоскость (x, у). Из леммы 4 следует, что в траекторию проектируются те и только те интегральные кривые пространства  , которые получаются из одной такой кривой (и, следовательно, друг из друга) сдвигом на произвольный отрезок вдоль оси t. Таким образом, устанавливается естественное соответствие между траекториями динамической системы на фазовой плоскости и интегральными кривыми в пространстве . При этом могут представиться следующие случаи в зависимости от характера траектории L:

L есть состояние равновесия М (а, Ь). Соответствующая интегральная кривая в  является прямой х = а, у = b, параллельной оси t и проходящей через точку М. При сдвиге вдоль оси t эта прямая переходит сама в себя.

2) L есть замкнутая траектория, соответствующая решению с периодом ₀. Соответствующие интегральные кривые имеют характер «винтовых линий» с шагом ₀ и проектируются в траекторию L. При сдвиге вдоль оси t на отрезок С каждая интегральная кривая переходит в другую кривую, если С не кратно ₀, и сама в себя, если С кратно ₀ (рис. 3).

3) L — незамкнутая траектория. Каждая интегральная кривая, соответствующая траектории L, при любом сдвиге вдоль оси t, отличном от нулевого, переходит в другую интегральную кривую (рис. 4).

Рис. 3. Рис. 4.

Подчеркнем следующие элементарные факты. Точка, двигаясь по траектории, отличной от состояния равновесия (т. е. «изображающая точка» с координатами х =  (t), y= (t) ), не может стремиться к точке какой-либо отличной от нее траектории при t, стремящемся к конечному значению. Действительно, в противном случае , интегральные кривые в пространстве (x, у, t) пересекались бы, что невозможно в силу теоремы 1. В частности, точка, двигаясь по траектории, отличной от состояния равновесия, может стремиться к состоянию равновесия либо при t , либо при  

Похожие работы

Автоматизация системы бюджетирования финансовой службы

Скачать

568458

20

78

... для реализации системы бюджетирования Консультационной группы "Воронов и Максимов". Статья о проблемах выбора системы бюджетирования - в проекте "УПРАВЛЕНИЕ 3000". Бюджетный автомат Если вы решитесь на автоматизацию системы бюджетирования компании, перед вами сразу встанут вопросы: что выбрать, сколько платить, как внедрять. Примеряйте! О ЧЕМ РЕЧЬ В “Капитале” на стр. 44, 45 мы рассказали ...

Диагностика отказов системы регулирования уровня в баке

Скачать

135054

16

63

... сети могут быть использованы как классификаторы для разделения образцов рассогласований и формирования сигналов тревог. Таким образом, они могут выявлять и изолировать отказы. 3. Диагностика отказов системы регулирования уровня жидкости в баке   3.1. Постановка задачи Реализацию описанного выше метода диагностики отказов, основанного на моделях будем выполнять применительно к системе ...

Операционные системы "тонких" клиентов

Скачать

257667

0

26

... их интеграция, расширение их возможностей в новых версиях, создание новых средств и перенос их на другие аппаратные платформы и в другие ОС IBM. 12.4 Операционная система z/VM ОС z/VM [21, 24, 42] (последняя версия - V4R2) является высокопроизводительной многопользовательской интерактивной ОС, предоставляющей уникальные возможности в части выполнения различных операционных сред на одном ...

Разработка алгоритмов контроля и диагностики системы управления ориентацией космического аппарата

Скачать

175590

30

100

... , может приводить к большим потерям рабочего тела и раскрутке космического аппарата до недопустимых угловых скоростей. Таким образом разработка алгоритмов контроля и диагностики системы управления ориентацией космического аппарата – является актуальной задачей. В настоящей работе решается задача построения алгоритмов контроля и идентификации отказов командных приборов и исполнительных органов. ...