Простейшие свойства решений системы (I)
Геометрическая интерпретация динамической системы на фазовой плоскости (х, у)
Разбиение области в фазовой плоскости на траектории
Направление на траектории. Изменение параметризации
Терминология и обозначения
Теорема о непрерывной зависимости от начальных значений
Замена переменных
Изоклины
Примеры
Навигация
Замена переменных
Динамические системы в плоской области
75588
знаков
0
таблиц
20
изображений
10. Замена переменных
Предположим, что область определения G системы (I) ограничена, и рассмотрим регулярное отображение этой области на некоторую область G* плоскости (и, v).
Пусть это отображение задается формулами
x=f(u, v), y = g(и, v) (Т)
или эквивалентными им формулами
x = f*(x,y), y=g*(x,y), (Т*)
где функции f, g, f*, g* являются функциями класса С2. Мы будем предполагать также, что G* — ограниченная область; для этого необходимо и достаточно, чтобы функции f* и g* были ограниченными в области G.
Переменные и и v можно рассматривать, как известно, не только как декартовы координаты на плоскости (и, v), но и как криволинейные координаты в области G плоскости (х, у). Тогда (Т) и (Т*) являются формулами замены переменных или преобразования координат.
Пусть после перехода к координатам и, v система (I) принимает вид
= U(u,v), 
= V(u,v). (31)
При этом мы имеем, очевидно,
g (u, v)) + 
Q(f(u, v), g(u,v)), (32)
V(u, v) = 
P(f(u, v), g(u, v)) + 
Q(f(u, v), g(u, v)).
Таким образом, при переходе к новым координатам и, v вектор т с координатами Р (х, у), Q (х, у) преобразуется в вектор т* с координатами U (и, v), V (и, и), связанными с Р (х, у), Q (х, у) выражениями (32).
При отображении (Т) всякая траектория системы (I)
x = 
(t), y = 
(t) переходит в траекторию системы (31)
(33)
и, обратно, при отображении (Т*) траектории системы (31) переходят в траектории системы (I). Нетрудно убедиться непосредственно, что пара функций (33) является решением системы (31).
В дальнейшем мы будем рассматривать не только регулярные преобразования координат. В частности, мы часто будем пользоваться переходом к полярной системе координат, который, очевидно, не является регулярным преобразованием координат.
Действительно, при преобразовании к полярным координатам
во-первых нарушается взаимная однозначность, а во-вторых функциональный детерминант
,обращается в нуль, при 
11. Дифференциальное уравнение, соответствующее динамической системе
Если разделить одно уравнение системы (I) на другое, то мы получим либо дифференциальное уравнение
(II)
либо дифференциальное уравнение
. (
)
Рассмотрим сначала уравнение (II). Пусть 
какая-нибудь точка области G. В силу теоремы о существовании и единственности решения, если при значениях 
, P()
, то существует единственное решение y=f(x), соответствующее начальным значениям , и, следовательно единственная интегральная кривая уравнения (II), проходящая через точку
В каждой точке этой кривой угловой коэффициент касательной задается уравнением (II).
Пусть
х = (t), у = (t)
— решение системы (I), соответствующее начальным значениям t0, x0 y0 . Выражая t вблизи значений t0, х0, у0 как функцию х, t=
(х) (это возможно в силу того, что по условию ' (t0) = Р (x0 ,y0) 
0) и подставляя в функцию у = (t), мы, как нетрудно видеть, получаем решение уравнения (II)
y = ((x)) = f(x)
Очевидно, интегральная кривая уравнения (II) в точках, в которых она определена, совпадает с траекторией системы (I) или является частью этой траектории.
Рис. 7
Предположим, что решение у = f (х) определено на интервале (x1 , x2) , и пусть х стремится к одному из концов этого интервала, например х 
x1 (все сказанное в этом случае может быть повторено для случая, когда х
х2). На основании общих теорем нетрудно видеть, что если при х x1 точка с координатами (x, f(х)) не стремится к границе области G, то она стремится к точке М (x1 , f (x1)), для которой Р (x1 , f (x1)) = 0, т. е. к точке, в которой уравнение (II) теряет смысл. Если при этом Q (x1 , f (x1)) 0, то точка М, очевидно, является такой точкой траектории системы (I), в которой касательная параллельна оси у (рис. 7). В окрестности такой точки естественно рассматривать уравнение (II*), и как «продолжение» интегральной кривой, соответствующей данному решению у = f (x) уравнения (II), рассматривать интегральную кривую уравнения (II*), проходящую через точку М(x1 , f (x1)) . Очевидно, в окрестности всякой точки, в которой ни Р (х, у), ни Q (х, у) не обращается в нуль, решение уравнения (II*) может быть получено из решения у = f (х) уравнения (II), если в нем х выразить как функцию у, х =g (у), а части соответствующих интегральных кривых уравнений (II) и (II*), лежащие в достаточно малой окрестности такой точки, совпадают.
Совершенно аналогично в точке N (
), в которой Q (g (у1), y1) = 0, а Р(g (у1), y1) 0, естественно «продолжением» интегральной кривой уравнения (II*) считать проходящую через эту точку интегральную кривую уравнения (II).
Нетрудно убедиться в том, что множество точек, состоящее из точек интегральной кривой уравнения (II). проходящей через некоторую, отличную от состояния равновесия системы (I) точку М0 (х0, у0) области G и всех «продолжений» этой интегральной кривой в указанном выше смысле, совпадает с траекторией, проходящей через точку М0.
Таким образом, одновременное задание уравнений (II) и (II*) определяет все траектории системы (I), отличные от состояний равновесия. Но в то время, как при рассмотрении системы (I) траектории определяются с помощью параметрических уравнении, при рассмотрении уравнений (II) и (II*) траектории определяются уравнениями в переменных х и у (уравнениями в декартовых координатах). В дальнейшем, рассматривая одновременно дифференциальные уравнения (II) и (II*), мы не будем выписывать оба эти уравнения: выписывая одно из этих уравнений, мы будем подразумевать, что рассматриваются оба. Мы будем также пользоваться следующими симметричными относительно х и у записями уравнений (II) и (II*), именно
(III)
Траектории системы (I), отличные от состояния равновесия, мы будем называть интегральными кривыми уравнения (III) (а также, не совсем точно, интегральными кривыми уравнения (II) или (II*)).
Точки, в которых одновременно
Р(х, у) = 0 и Q(x, у) = 0
и оба уравнения (II) и (II*) теряют смысл, называются особыми точками уравнений (II), (II*) или (III). Таким образом, состояниям равновесия системы (I) соответствуют особые точки уравнении (II), (II*) или (III) и, наоборот, особым точкам — состояния равновесия.
В то время, как система (I) определяет в области G фазовой плоскости векторное поле, состоящее из векторов 
(х, у) с компонентами Р (х, у), Q (х, у) , уравнение (III) (или пара уравнений (II) и (II*)) определяет поле направлений или поле линейных элементов. Линейным элементом называется точка М и проходящий через эту точку ненаправленный прямолинейный отрезок, для которого М является внутренней точкой. Поле линейных элементов, определенное уравнением (III), получается, если через каждую точку М (х, у) области провести прямолинейный отрезок, имеющий угловой коэффициент 
(если 
0, то соответствующий отрезок параллелен оси у).
Очевидно, линейный элемент, соответствующий точке М (х, у), лежит на касательной к траектории, проходящей через точку М.
Если функция класса 
f (x, у) не обращается в нуль в области G, то системе
, 
(I *)
соответствует, очевидно, то же дифференциальное уравнение (II)
, что и системе 
, 
Отсюда вторично вытекает доказанное в п. 7 утверждение, что системы (I) и (I*) имеют одни и те же траектории. Если функция f(х, у) обращается в нуль в точках области G, то, рассматривая уравнение
мы, очевидно, «теряем» особые точки системы (I*) (неявляющиеся состояниями равновесия системы (I)), для которых f(х,y) = 0.
Похожие работы
... для реализации системы бюджетирования Консультационной группы "Воронов и Максимов". Статья о проблемах выбора системы бюджетирования - в проекте "УПРАВЛЕНИЕ 3000". Бюджетный автомат Если вы решитесь на автоматизацию системы бюджетирования компании, перед вами сразу встанут вопросы: что выбрать, сколько платить, как внедрять. Примеряйте! О ЧЕМ РЕЧЬ В “Капитале” на стр. 44, 45 мы рассказали ...
... сети могут быть использованы как классификаторы для разделения образцов рассогласований и формирования сигналов тревог. Таким образом, они могут выявлять и изолировать отказы. 3. Диагностика отказов системы регулирования уровня жидкости в баке 3.1. Постановка задачи Реализацию описанного выше метода диагностики отказов, основанного на моделях будем выполнять применительно к системе ...
... их интеграция, расширение их возможностей в новых версиях, создание новых средств и перенос их на другие аппаратные платформы и в другие ОС IBM. 12.4 Операционная система z/VM ОС z/VM [21, 24, 42] (последняя версия - V4R2) является высокопроизводительной многопользовательской интерактивной ОС, предоставляющей уникальные возможности в части выполнения различных операционных сред на одном ...
... , может приводить к большим потерям рабочего тела и раскрутке космического аппарата до недопустимых угловых скоростей. Таким образом разработка алгоритмов контроля и диагностики системы управления ориентацией космического аппарата – является актуальной задачей. В настоящей работе решается задача построения алгоритмов контроля и идентификации отказов командных приборов и исполнительных органов. ...
0 комментариев