Динамика идеальной жидкости

4. Динамика идеальной жидкости

4.1. Дифференциальное уравнение движения идеальной жидкости (при устано­вившемся движении) и его интегрирование

Для вывода уравнения движения жидкости обратимся к записанному ранее уравне­нию равновесия жидкости (в проекциях на координатные оси), иначе говоря:  . Поскольку в идеальной жидкости никаких сосредоточенных сил действовать не может, то последнее уравнение чисто условное. Когда равнодейст­вующая отлична от 0, то жидкость начнёт двигаться с некоторой скоро­стью, т.е. в соответствии со вторым законом Ньютона, частицы жидкости, состав­ляющие жидкое тело получат ускорение.

Тогда уравнение движения жидкости в проекциях на координатные оси можно запи­сать в следующем виде:

Согласно основному положению о поле скоростей (метод Эйлера) для проекций ско­ростей движения жидкости можно записать следующее:

или (для установившегося движения жидкости):

Найдём первые производные от скоростей по времени, т.е. определим ускорения вдоль осей координат:

отметим, что:

' * /

Теперь подставив выражения для ускорений в исходную систему дифференциальных уравнений движения жидкости, получим систему уравнений Эйлера в окончательном ви-де²:

Теперь вновь обратимся к системе дифференциальных уравнений движения жидко­сти, умножив обе части 1-го уравнения на dx, 2-го уравнения на dy, 3-го уравнения на dz, получим:

и просуммировав эти уравнения по частям, получим:

² При неустановившемся движении жидкости уравнения Эйлера дополняются первыми слагаемыми.

Преобразуем левую часть полученного уравнения, полагая, что

 в результате запишем

Слагаемые в правой части уравнения являются полными дифференциалами функ­ций.

Теперь уравнение примет вид

Если из массовых сил на жидкость действует только сила тяжести, то, и

> ,*

тогда получим:

После интегрирования получим:

 ?

разделив почленно все члены уравнения на g, получим так называемое уравнение Бернулли

Здесь величина Н называется гидродинамическим напором Величина гидродинами­ческого напора постоянна для всех живых сечений элементарной струйки идеальной жид­кости.

4.2. Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости

Выделим двумя нормальными к линиям тока се­чениями 1 - 1 и 2 - 2 отсек жидкости, который будет находиться под действием сил давленияи сил тяжести dG Под действием этих сил через малый про­межуток времени отсек жидкости из своего первона­чального положения переместится в положение между __сечениями Силы давления, приложен­ ные к живым сечениям отсека с правой и с левой сто-

рон имеют противоположные друг другу направления.

Перемещение всего отсека жидкости можно заменить перемещением массы жидко­сти между сечениями: 1-1иГ-Г в положение 2-2и2'-2', при этом центральная часть отсека жидкости (можно утверждать) своего первоначального положения не меняет и в движении жидкости участия не принимает.

Тогда работа сил давления по перемещению жидкостиможно определить сле­дующим образом:

Работа сил тяжести будет равна работе по перемещению веса отсека жидкости на разницу уровней

При перемещении отсека жидкости кинетическая энергия изменится на величину:

 f

Теперь запишем общее уравнение баланса энергии:

Разделив все элементы уравнения на dG и, переместив в левую часть уравнения ве­личины с индексами «1» а в правую - с индексом «2», получим:

Это последнее уравнения носит название уравнения Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости.

Похожие работы

Б.А. Бахметев дипломат, политик, мыслитель

Скачать

124283

0

0

... и никто в России не отдавал себе отчета и не имел ясного представления о том, как работает вообще мировая политическая мысль и каким образом вообще совершаются мировые события. Дипломатия, политика в лучшем случае рисовались как система известных навыков и приемов, присущих дипломатическим канцеляриям. Оценка дипломатического таланта и умения сводилась к признанию известной сноровки и ловкости в ...

Лекции по физике

Скачать

118786

4

0

праведливы соотношения ... Пусть высота тетраэдра равна ... . Тогда его объём равен ... . Воспользуемся вторым законом Ньютона и со- ставим уравнение движения тетраэдра: ... ... где ... - ускорение центра масс тетраэдра. Переходя к пределу (устремляя ... ), получим ... Получим формулу Коши, утверждающую, что напряжения на гранях образуют систему взаимно уравновешенных ...

Исследование работ Фарадея по электричеству

Скачать

166869

1

15

... самоиндукции и экстратоки замыкания и размыкания. Открытие явления электромагнитной индукции сразу же приобрело огромное научное и практическое значение; оно легло в основу электротехники. Работам Фарадея в области электричества положило начало исследование так называемых электромагнитных вращений. Из серии опытов Эрстеда, Араго, Био, Савара, проведенных в 1820 г., стало известно не только об ...

Инженерные системы

Скачать

120331

21

16

... фундамента. 59 Нормативный срок службы водозаборной арматуры, годы: А) 5; В) 10; С) 15; D) 20; E) 25. 60 Нормативный срок службы чугунных радиаторов, годы: А) 5; В) 10; С) 20; D) 30; E) 40. 61 Какой параметр ограничивается во всех инженерных системах? A) давление; B) скорость; C) температура; D) вязкость; E) расход. 62 Какая инженерная система рассчитывается для трех различных ...