Примеры

1.2. Примеры

На А = С отображение z → (комплексное число, сопряженное к z) есть инволюция, превращающая С в коммутативную *- алгебру.

Пусть Т – локально компактное пространство, А = С(Т) – алгебра непре- рывных комплексных функций на Т, стремящихся к нулю на бесконечности (то есть для любого ε > 0 множество {tT: |f (t)|  ε} компактно, f (t)  А. Снабжая А отображением f→ получаем коммутативную *- алгебру. Если Т сводится к одной точке, то возвращаемся к примеру 1).

Пусть Н – гильбертово пространство. А = L(H) – алгебра ограниченных линейных операторов в Н. Зададим инволюцию как переход к сопряженному оператору. Тогда А - *- алгебра.

Обозначим через К(Н) совокупность всех компактных операторов в гильбертовом пространстве Н; операции сложения, умножения на число и умножения определим как соответствующие действия с операторами. Тогда К(Н) будет *- алгеброй, если ввести инволюцию А→А* (АК(Н)). Алгебра К(Н) в случае бесконечного Н есть алгебра без единицы. Действительно, если единичный оператор I принадлежит К(Н), то он переводит открытый единичный шар S H в себя. Значит I не может быть компактным оператором.

Обозначим через W совокупность всех абсолютно сходящихся рядов .

Алгебра W есть *- алгебра, если положить . ()

1.3. Алгебры с единицей

Определение 1.3. Алгебра А называется алгеброй с единицей, если А содержит элемент е, удовлетворяющий условию

ех = хе = х для всех хА (1.1.)

Элемент е называют единицей алгебры А.

Теорема 1.1. Алгебра А не может иметь больше одной единицы.

Доказательство. Действительно, если е΄ - также единица в А, то

е΄х = хе΄ = х, для всех хА (1.2.)

Полагая в (1.1.) х = е΄, а в (1.2.) х = е, получим:

ее΄ = е΄е = е΄ и е΄е = ее΄ =е, следовательно е΄ = е.

Теорема 1.2. Всякую алгебру А без единицы можно рассматривать как подалгебру некоторой алгебры А΄ с единицей.

Доказательство. Искомая алгебра должна содержать все суммы х΄=αе + х, хА; с другой стороны, совокупность всех таких сумм образует алгебру А΄, в которой основные операции определяются формулами:

β(αе + х) = βαе + βх, (α1е + х1) + (α2е + х2) = (α1 + α2)е + (х1 + х2),

(α1 е + х1)(α2 е+ х2 )=α1 α2 е +α1 х2 +α2 х1 + х1 х2 (1.3.)

Каждый элемент х΄ из А΄ представляется единственным образом в виде

х΄ = αе + х, хА, так как по условию А не содержит единицы. Поэтому А΄ можно реализовать как совокупность всех формальных сумм х΄ = αе + х, хА, в которой основные операции определяются формулами (1.3.); сама алгебра А получится при α = 0.

Алгебру А΄ можно также реализовать как совокупность всех пар (α, х), хА, в которой основные операции определяются по формулам:

β (α, х) = (βα, βх), (α1, х1) + (α2, х2) = (α1 + α2, х1 + х2),

(α1, х1)(α2, х2) = (α1α2, α1х2 + α2 х1 + х1х2), (1.4.)

аналогично тому, как определяются комплексные числа. Саму алгебру А можно тогда рассматривать как совокупность всех пар (0, х), хА и не делать различия между х и (0, х). Полагая е = (0, х), мы получим:

(α, х) = α(1, 0) + (0, х) = αе + х,

так что вторая реализация алгебры А΄ равносильна первой.

Переход от А к А΄ называется присоединением единицы.

Определение 1.4. Элемент y называется левым обратным элемента х, если xy = e. Элемент z называется правым обратным элемента х, если xz = e.

Если элемент х имеет и левый, и правый обратные, то все левые и правые обратные элемента х совпадают. Действительно, умножая обе части равенства yx = e справа на z, получим

z = (yx)z = y(xz) = ye,

В этом случае говорят, что существует обратный х-1 элемента х.

1.4. Простейшие свойства - алгебр

Определение 1.5. Элемент х *-алгебры А называется эрмитовым или самосопряженным, если х* = х, нормальным, если хх* = х*х. Идемпотентный эрмитов элемент называется проектором. Элемент алгебры называется идемпотентным, если все его (натуральные) степени совпадают.

Каждый эрмитов элемент нормален. Множество эрмитовых элементов есть вещественное векторное подпространство А. Если х и y эрмитовы, то (xy)*= y*x* = yx; следовательно, xy эрмитов, если x и y перестановочны. Для каждого хА элементы хх* и х*х эрмитовы. Но, вообще говоря, эрмитов элемент не всегда представим в этом виде, как показывает пример 1 из пункта 1.2. Действительно, для любого zC , но если z действительно отрицательное число, то его нельзя представить в виде .

Теорема 1.3. Всякий элемент х *-алгебры А можно представить, и притом единственным образом, в виде х = х1 +iх2, где х1, х2 – эрмитовы элементы.

Доказательство. Если такое представление имеет место, то х* = х1 +iх2, следовательно:

,  (1.5.)

Таким образом, это представление единственно. Обратно, элементы х1, х2, определенные равенством (1.5.), эрмитовы и х = х1 +iх2.

Эти элементы х1, х2 называются эрмитовыми компонентами элемента х.

Заметим, что хх* = х12 + х22 + i(х2х1 – х1х2),

хх* = х12 + х22 - i(х2х1 – х1х2)

так что х нормален тогда и только тогда, когда х1 и х2 перестановочны.

Так как е*е = е* есть эрмитов элемент, то е* = е , то есть единица эрмитов элемент.

Если А - *-алгебра без единицы, а А΄ - алгебра, полученная из А присоединением единицы, то, положив  при хА, мы определим инволюцию в А΄, удовлетворяющую всем требованиям определения 2. Так что А΄ станет *-алгеброй. Говорят, что А΄ есть *-алгебра, полученная из А присоединением единицы.

Теорема 1.4. Если х-1 существует, то (х*)-1 также существует и

(х*)-1 = (х-1)*

Доказательство. Применяя операцию * к обеим частям соотношения

х-1х = хх-1 = е,

получим х*(х-1)*= (х*)-1х*=е.

Но это означает, что (х-1)* есть обратный к х*.

Подалгебра А1 алгебры А называется *-подалгеброй, если из хА1 следует, что х*А1 .

Непустое пересечение *-подалгебр есть также *-подалгебра. В частности, пересечение всех *-поалгебр, содержащих данное множество S А, есть минимальная *-подалгебра, содержащая S.

Коммутативная *-алгебра называется максимальной, если она не содержится ни в какой другой коммутативной *-подалгебре.

Теорема 1.5. Если В – максимальная коммутативная *-подалгебра, содержащая нормальный элемент х , и если х-1 существует, то х-1В.

Доказательство. Так как х т х* перестановочны со всеми элементами из В, то этим же свойством обладают х-1 и (х*)-1 = (х-1)*. В силу максимальности В отсюда следует, что х-1В.

Определение 1.6. Элемент хА - *-алгебры называется унитарным, если хх* = х*х = е, иначе говоря, если х обратим и х = (х*)-1.

В примере 1 п.1.2. унитарные элементы – комплексные числа с модулем, равным 1.

Унитарные элементы А образуют группу по умножению – унитарную группу А. Действительно, если x и y – унитарные элементы *-алгебры А, то

((хy)*)-1 = (у*х*)-1 =(х*)-1 (y*)-1 = xy,

поэтому xy унитарен, и так как ((х-1)*)-1= ((х*)-1)-1 = х-1, то х-1 унитарен.

Похожие работы

*-Алгебры и их применение

Скачать

69018

1

0

... ;0,0(p2) = P0,0. В силу теоремы 2.8. главы I разложения I, Р1 и Р2 также определяются однозначно. § 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве 2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P2 . Пусть А = Р1 - Р1┴ = 2Р1 – I и В = Р2 – Р2┴ = 2Р2 – I. Тогда А2 = I , В2 = I. Следовательно А и В самосопряженные унитарные операторы в Н. Положим U=АВ, тогда U-1=ВА и А-1UА ...

Изучение элементов современной алгебры, на примере подгрупп симметрических групп, на факультативных занятиях по математике

Скачать

75806

4

238

... для того, чтобы показать школьникам образец современной математической теории. 2.2.3.2. ПРОГРАММА И СОДЕРЖАНИЕ ЗАНЯТИЙ ФАКУЛЬТАТИВНОГО КУРСА «ЭЛЕМЕНТЫ СОВРЕМЕННОЙ АЛГЕБРЫ» В качестве экспериментальной работы мы предлагаем изучение элементов современной алгебры в рамках факультативного курса по математике. Нами была разработана программа факультативного курса «Элементы современной алгебры» и ...

Алгебра логики

Скачать

10756

9

3

... угодно сложные в логическом отношении схемы, можно строить, используя два приема: 1.  последовательное соединение элементов; 2.  перестановка входов элементов. Этим двум физическим приемам в алгебре логики соответствуют: 1.  принцип суперпозиции (подстановка в функцию вместо ее аргументов других функций); 2.  подстановка аргументов (изменение порядка записи аргументов функций или замена ...

Вопросы к гос. экзамену по дисциплине "Математика – Алгебра"

Скачать

66655

0

0

... 4. Бинарные отношения. Математика как наука отражает мир взаимодействующих простых и сложных объектов (вещей, явлений, процессов). Абстрагируясь от реальности, математика рассматривает унарные, бинарные и другие отношения. В вопросе требуется рассмотреть бинарные отношения, их свойства и особо обратить внимание на отношение эквивалентности, заданного на одном множестве. Рассмотрим ...