Спектральная теорема. Пусть Н – сепарабельное гильбертово пространство, тогда справедлива следующая теорема

2.2. Спектральная теорема. Пусть Н – сепарабельное гильбертово пространство, тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 2.3. (спектральная теорема в форме операторов умножения). Паре ортопроекторов Р1 и Р2 в сепарабельном гильбертовом пространстве Н соответствует разложение

Н = Н0,0Н0,1Н1,0 Н1,1 ((С2L2((0, ), dρк))) (2.4.)

где ρ1 > ρ2 >… ρк меры на интервале (0, ), такое, что имеют место равенства

P1 = P1,0 P1,1  ((Iк )) (2.5.)

Р2 = P0,1 P1,1 (Iк )) (2.6.)

Iк – единичный оператор в L2((0, ), dρк)

Доказательство. Пространство Н можно представить в виде ортогональной суммы инвариантных подпространств

Н = Н0,0  Н0,1 Н1,0 Н1,1  Н΄, то есть отщепить все одномерные представления от исходного. Н΄ состоит из инвариантных двумерных подпространств.

Всякому положительному функционалу F в *-алгебре P2 отвечает циклическое представление πF *-алгебры P2 в некотором гильбертовом пространстве НF. При этом НF можно реализовать как L2(F), то есть как гильбертово пространство всех функций с интегрируемым квадратом по мере μF на Т.

Пусть каждому вектору ξН поставим в соответствие подпространство Нξ  Н, которое получается замыканием множества векторов вида π(х)ξ, где хА. Ограничения операторов из π(А) на Нξ является циклическим представлением. Обозначим его через πξ, а соответствующую меру на Т через μξ. Введем упорядочение в Н, полагая ξ>η, если μξ > μη (то есть μη абсолютно непрерывна по мере μξ).

Если ηНξ, то НηНξ, тогда πη – циклическое подпредставление πξ. Пусть Е Т и μξ (Е) = 0, тогда μη (Е) = 0, следовательно μξ > μη, а значит ξ>η.

Множество максимальных векторов всюду плотно в Н. Пусть существует счетное разложение Н = Нηк. Пусть {ζi} – последовательность, в которой каждый из векторов ηi встречается бесконечное число раз. Определим ξк индуктивно, так, чтобы выполнялись условия:

ξк+1 – максимальный вектор в (Нξi)┴,

d (ζк, Нξi) ≤ .

Тогда разложение Н = Нξк такое что ξк>ξк+1 и μк>μк+1 .

Пусть представления πμ в L2(Т, μ) и πν в L2(Т, ν) эквивалентны. Пусть v:L2(Т, μ) →L2(Т, ν) устанавливающий их эквивалентность изоморфизм. Положим f=1, а=v(f), тогда для любой непрерывной функции g на Т v(g)=vπμ(g)f = πν (g)vf = πν (g)a = ga. Так как v – изометрическое отображение, то dμ=|a|2dν. Таким образом мера μ абсолютно непрерывна по мере ν. Аналогично, рассматривая обратный оператор, получаем, что ν абсолютно непрерывна по μ, то есть эти меры эквивалентны. Значит существует разложение Н΄ = (С2L2(Т, μк)), где μ1>μ2>… и соответствующие этим мерам представления неприводимы и неэквивалентны. Это доказывает равенство (2.4.). Тогда из (2.4.) следуют формулы:

P1 = P1,0 P1,1  ((Iк ))

Р2 = P0,1 P1,1 (Iк ))

Iк – единичный оператор в L2((0, ), dρк).

Теорема 2.4. (спектральная теорема в форме разложения единицы). Паре ортопроекторов Р1 и Р2 в сепарабельном гильбертовом пространстве Н соответствует разложение

Н = Н0,0Н0,1Н1,0 Н1,1С2Н(φ)dЕ(φ) (2.7.)

в прямой интеграл инвариантных относительно Р1, Р2 подпространств и определенное на Т = (0, ) разложение dЕ(φ) единичного оператора I+=E(0, ) в Н+ =С2Н(φ)dЕ(φ), такое что имеет место равенство

P1 = P1,0 P1,1  I+ (2.8.)

Р2 = P0,1 P1,1dЕ(φ) (2.9.)

Доказательство. Всякий самосопряженный оператор А, действующий в Н, изометрически изоморфен оператору умножения на независимую переменную в пространстве L2(R, dρк), где ρк зависит от разложения единицы оператора А. Тогда доказательство спектральной теоремы в форме разложения единицы следует непосредственно из спектральной теоремы в форме операторов умножения.

Глава III. Спектр суммы двух ортопроекторов

§1. Спектр суммы двух ортопроекторов в унитарном пространстве

Похожие работы

*-Алгебры и их применение

Скачать

69018

1

0

... ;0,0(p2) = P0,0. В силу теоремы 2.8. главы I разложения I, Р1 и Р2 также определяются однозначно. § 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве 2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P2 . Пусть А = Р1 - Р1┴ = 2Р1 – I и В = Р2 – Р2┴ = 2Р2 – I. Тогда А2 = I , В2 = I. Следовательно А и В самосопряженные унитарные операторы в Н. Положим U=АВ, тогда U-1=ВА и А-1UА ...

Изучение элементов современной алгебры, на примере подгрупп симметрических групп, на факультативных занятиях по математике

Скачать

75806

4

238

... для того, чтобы показать школьникам образец современной математической теории. 2.2.3.2. ПРОГРАММА И СОДЕРЖАНИЕ ЗАНЯТИЙ ФАКУЛЬТАТИВНОГО КУРСА «ЭЛЕМЕНТЫ СОВРЕМЕННОЙ АЛГЕБРЫ» В качестве экспериментальной работы мы предлагаем изучение элементов современной алгебры в рамках факультативного курса по математике. Нами была разработана программа факультативного курса «Элементы современной алгебры» и ...

Алгебра логики

Скачать

10756

9

3

... угодно сложные в логическом отношении схемы, можно строить, используя два приема: 1.  последовательное соединение элементов; 2.  перестановка входов элементов. Этим двум физическим приемам в алгебре логики соответствуют: 1.  принцип суперпозиции (подстановка в функцию вместо ее аргументов других функций); 2.  подстановка аргументов (изменение порядка записи аргументов функций или замена ...

Вопросы к гос. экзамену по дисциплине "Математика – Алгебра"

Скачать

66655

0

0

... 4. Бинарные отношения. Математика как наука отражает мир взаимодействующих простых и сложных объектов (вещей, явлений, процессов). Абстрагируясь от реальности, математика рассматривает унарные, бинарные и другие отношения. В вопросе требуется рассмотреть бинарные отношения, их свойства и особо обратить внимание на отношение эквивалентности, заданного на одном множестве. Рассмотрим ...