Спектр оператора А = Р1 + Р2. Изучим оператор Р1 + Р2 в сепарабельном гильбертовом пространстве

2.1. Спектр оператора А = Р1 + Р2. Изучим оператор Р1 + Р2 в сепарабельном гильбертовом пространстве.

Теорема 2.1. Самосопряженный оператор А представим в виде суммы двух ортопроекторов А = Р1 + Р2 тогда и только тогда, когда (А) = [0, 2] и пространство Н можно разложить в ортогональную сумму инвариантных относительно А пространств

Н = Н0  Н1 Н2 ((С2L2((0, ), dρк))) (2.1.)

и меры ρк инвариантны относительно преобразования 1+х → 1-х.

Доказательство. Пусть А = Р1 + Р2. Н0=Н0,0 , Н1=Н1,0Н0,1 , Н2=Н1,1

Поставим в соответствие φ→ε cosφ, где φ (0, ). Тогда, как было найдено выше, спектр (А)  [0, 2] и Н можно разложить (опираясь на спектральную теореме 2.3. главы II) в ортогональную сумму (2.1.)

Н = Н0  Н1 Н2 ((С2L2((0, 2), dρк)))

Поскольку собственные подпространства, соответствующие собственным значениям А 1+ε , 1-ε, 0<ε<1 входят одновременно в спектр и их значения совпадают, то каждая мера ρк (к = 1, 2, …) должна быть инвариантной относительно преобразования 1 + х → 1- х.

Обратно. Пусть имеет место (2.1.) и (А)  [0, 2]. Тогда зададим ортопроекторы Р1΄ Р2΄ равенствами

Р1΄ = P1P2((Iк ))

Р2΄ = P2  (Iк ))

где Pi: Н→Нi (i = 0, 1, 2) ортопроектор, Ik – единичный оператор в L2((0, 2), dρк)). Тогда А =Р1΄ + Р2΄ - самосопряженный оператор, спектр которого содержится в [0, 2], так как Рк΄ (к = 1, 2) является суммой ортопроекторов на взаимно ортогональные пространства.

2.2. Спектр линейной комбинации А = aР1 + bР2 (0<a<b). Рассмотрим теперь случай, когда А = aР1 + bР2 (0<a<b).

Теорема 2.2. Самосопряженный оператор А представим в виде линейной комбинации двух ортопроекторов А = aР1 + bР2, 0<a<b тогда и только тогда, когда (А)  [0, a] [b, a+b] и Н можно представить в виде ортогональной суммы инвариантных относительно А пространств

Н = Н0 Нa НbНa+b ((С2L2([0, a] [b, a+b], dρк)))) (2.2.)

и меры ρк инвариантны относительно преобразования х→a+b.

Доказательство. Пусть А = aР1 + bР2 (0<a<b). Пусть Н0=Н0,0, На=Н0,1, Нb=Н1,0 , Нa+b=Н1,1. Так как (А)  [0, a] [b, a+b] и собственные подпространства, отвечающие собственным значениям оператора А входят в Н одновременно (причем их размерности совпадают) то аналогично теореме 2.1. получаем

Н = Н0 Нa НbНa+b ((С2L2([0, a] [b, a+b], dρк))))

где меры ρк (к = 1, 2, …) инвариантны относительно преобразования х → a+b-х.

Обратно, пусть (А)  [0, a] [b, a+b] и имеется разложение Н (2.2.). Тогда зададим Р1 и Р2 следующим образом

P1 = PaPa+b ((Iк ))

Р2 = Pb Pa+b (Iк ))

где Рα: Н→Нα , α = a, b, a+b – ортопроекторы, Iк – единичный оператор в L2([0,a] [b, a+b]). Тогда

А = aР1 + bР2 = aР1 bР2(a+b)Pa+b ((Iк ))

 (Iк ))

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В дипломной работе изучена пара ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н, приведено описание всех неприводимых и неэквивалентные *-представления *-алгебры P2 .

P2 = С <p1, p2 | pк2 = pк* =pк>.

А именно: 4 одномерных π0,0(p1) = 0, π0,0(p2) = 0; π0,1(p1) = 0, π0,1(p2) = 1; π1,0(p1) = 1, π1,0(p2) = 0; π1,1(p1) = 1, π1,1(p2) = 1.

И двумерные:  ,  τ (0, 1)

Изучен спектр операторов Р1 + Р2, aР1 + bР2 (0<a<b), а также необходимые и достаточные условия представимости самосопряженного оператора А в виде А = Р1 + Р2 и А = aР1 + bР2 (0<a<b).

Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, М., Наука, 1966.

Березенский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функциональный анализ, К., Выща школа, 1990.

Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика: С*- W* -алгебры. Группы симметрий. Разложение состояний., М., Мир, 1982.

Диксмье Ж. С*-алгебры и их представления. М., Наука, 1974.

Кириллов А.А. Элементы теории представлений. М., Наука, 1978.

Кужель А.В. Алгебры конечного ранга, С. СГУ, 1979.

Ленг С. Алгебра. М., Мир, 1968.

Мерфи Д. С*-алгебры и теория операторов. М., Мир, 1998.

Наймарк М.А. Нормированные кольца. М., Гостехиздат, 1956.

Рудин У. Функциональный анализ. М., Мир, 1975.

NishioK, Linear algebra and its applications 66: 169-176, Elsevier Science Publishing Co., Inc., 1985.

Samoilenko Y.S., Representation theory of algebras, Springer, 1

Похожие работы

*-Алгебры и их применение

Скачать

69018

1

0

... ;0,0(p2) = P0,0. В силу теоремы 2.8. главы I разложения I, Р1 и Р2 также определяются однозначно. § 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве 2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P2 . Пусть А = Р1 - Р1┴ = 2Р1 – I и В = Р2 – Р2┴ = 2Р2 – I. Тогда А2 = I , В2 = I. Следовательно А и В самосопряженные унитарные операторы в Н. Положим U=АВ, тогда U-1=ВА и А-1UА ...

Изучение элементов современной алгебры, на примере подгрупп симметрических групп, на факультативных занятиях по математике

Скачать

75806

4

238

... для того, чтобы показать школьникам образец современной математической теории. 2.2.3.2. ПРОГРАММА И СОДЕРЖАНИЕ ЗАНЯТИЙ ФАКУЛЬТАТИВНОГО КУРСА «ЭЛЕМЕНТЫ СОВРЕМЕННОЙ АЛГЕБРЫ» В качестве экспериментальной работы мы предлагаем изучение элементов современной алгебры в рамках факультативного курса по математике. Нами была разработана программа факультативного курса «Элементы современной алгебры» и ...

Алгебра логики

Скачать

10756

9

3

... угодно сложные в логическом отношении схемы, можно строить, используя два приема: 1.  последовательное соединение элементов; 2.  перестановка входов элементов. Этим двум физическим приемам в алгебре логики соответствуют: 1.  принцип суперпозиции (подстановка в функцию вместо ее аргументов других функций); 2.  подстановка аргументов (изменение порядка записи аргументов функций или замена ...

Вопросы к гос. экзамену по дисциплине "Математика – Алгебра"

Скачать

66655

0

0

... 4. Бинарные отношения. Математика как наука отражает мир взаимодействующих простых и сложных объектов (вещей, явлений, процессов). Абстрагируясь от реальности, математика рассматривает унарные, бинарные и другие отношения. В вопросе требуется рассмотреть бинарные отношения, их свойства и особо обратить внимание на отношение эквивалентности, заданного на одном множестве. Рассмотрим ...