Тензорные произведения операторов. Определим тензорное произведение ограниченных операторов

3.2. Тензорные произведения операторов. Определим тензорное произведение ограниченных операторов.

Теорема 3.1. Пусть ,  - две последовательности гильбер- товых пространств,  - последовательность операторов АкL(Нк, Gк). Определим тензорное произведение А1 …Аn = Ак формулой

() f = () =  (3.11.)

(f ).

Утверждается, что ряд в правой части (3.11.) сходится слабо в и определяет оператор  L (, ), причем

|| || = || || (3.12.)

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай n=2, так как в силу равенства Н1,…, Нn = (Н1,…, Нn-1)Нn общий случай получается по индукции.

Пусть - некоторый ортонормированный базис в Gк (к = 1, 2) и пусть g =  G1 G2. В качестве f возьмем вектор из Н1 Н2 с конечным числом отличных от нуля координат fα.

Зафиксируем α2, β1  Z+ и обозначим через f(α2) Н1 вектор f(α2) =  и через g(β1)G2 – вектор g(β1) =. Получим

= =

= ≤ =

= ≤ =

=

Из этого неравенства следует слабая сходимость в G1G2 ряда  уже при произвольном c Н1Н2 и оценка его нормы в G1G2 сверху через ||A1|| ||A2|| ||f||. Таким образом, оператор A1 A2: Н1 Н2 →G1G2 определен посредством (3.11.) корректно, ограничен и его норма не превосходит ||A1|| ||A2||.

Из (3.5.) и (3.11.) следует

||(A1 A2) (f1 f2)|| = ||A1 f1|| ||A2 f2|| (fк Нк , к = 1, 2)

Подбирая должным образом орты f1, f2 последнее произведение можно сделать сколь угодно близким к ||A1|| ||A2||, поэтому неравенство ||(A1 A2)|| ≤ ||A1|| ||A2|| не может выполняться, то есть (3.12.) при n=2 доказано.

Из (3.11.) получаем для Ак L(Hк, Gк), Вк L(Hк, Gк) (к = 1,…, n) соотношения

(Вк) (Ак) = (Вк Ак) (3.13.)

(Ак)* = Ак* (3.14)

(Ак) (f1 … fn) = A1 f1… An fn (3.15.)

(fк Hк; к = 1,…, n)

(3.15) однозначно определяет оператор Ак.

Приведем пример. Пусть Hк = L2((0,1), d (mк)) = L2

Действительно, вектору вида (3.1.)    поставим в соответствие функцию  L2. Такие функции образуют ортонормированный базис пространства L2, поэтому такое соответствие порождает требуемый изоморфизм между и L2.

Глава II. Задача о двух ортопроекторах

§ 1. Два ортопроектора в унитарном пространстве

Постановка задачи. Пусть дана *-алгебра P2

P2 = С < р1, р2 | р12 = р1* = р1, р22 =р2* = р2 >

порожденная двумя проекторами, то есть двумя идемпотентными самосопряженными элементами.

Положим u = 2p1 – 1, v = 2p2 – 1, тогда u, v самосопряженные элементы.

u2 = (2p1 – 1)2 = 4p1 – 4p1 + 1 = 1, v2 = 1. Таким образом u, v – унитарные самосопряженные элементы.

Тогда *-алгебру P2 можно задать иначе:

P2 = С < p1*= p1, p2*=p2 | p12 = p1, p22 = p2 > = C <u* = u, v* = v | u2 = 1, v2 =1 >

Это групповая *-алгебра, порожденная двумя унитарными самосопряженными элементами.

Требуется найти все неприводимые представления *-алгебры P2 , с точностью до унитарной эквивалентности.

1.2. Одномерные *-представления *-алгебры P2 . Пусть π: P2 →L(H) - *-представление *-алгебры P2 . Рассмотрим сначала случай, когда dim H = 1, то есть dim π = 1.

P2 = С < р1, р2 | р12 = р1* = р1, р22 =р2* = р2 >

Обозначим через Рк = π(рк), к = 1,2. Поскольку рк2= рк* = рк (к = 1, 2) и π - *-представление, то Рк2 = Рк* = Рк (к =1, 2) – ортопроекторы в Н на подпространстве Нк = {yH | Рк y = y } к = 1, 2.

Возможны следующие случаи:

Н1 = Н2 = {0}; тогда Р1 = 0, Р2 = 0.

Н1 = Н (то есть dim H1 =1), Н2 = {0}, тогда Р1 = 1, Р2 = 0.

Н1 = {0}, Н2 = Н (то есть dim H2 =1), тогда Р1 = 0, Р2 = 1.

Н1 = Н2 = Н (dim H1 = dim H2 =1), тогда Р1 = 1, Р2 = 1.

Так как dim H =1, то мы можем получить 4 одномерных неприводимых *-представлений P2, причем они неэквивалентны.

1.3. Двумерные *-представления *-алгебры P2 . Обозначим через Нк область значений оператора Рк при к = 1,2. Пусть Нк┴ - ортогональное дополнение подпространства Нк (к = 1,2) в Н. Тогда Н=H1Н1┴ , Н=H2Н2┴

Введем дополнительные обозначения :

Н0,0 = Н1┴ ∩Н2┴, Н0,1 = Н1┴ ∩Н2, Н1,0 = Н1 ∩Н2┴, Н1,1 = Н1 ∩Н2. (1.1.)

Пусть dim H = 2. предположим, что существуют i и j такие, что Hij нетривиально, то есть dim Hij =1. Пусть, например, dim Н1,0 = 1 (остальные случаи аналогичны). Тогда в H существует ненулевой вектор h такой, что Н1,0 = л.о. {h}, но тогда P1h = h, P2h = 0; следовательно Н1,0 инвариантное подпространство. Значит в этом случае *-представление π не может быть неприводимым.

Будем считать, что Hij ={0} для любых i = 0, 1 и j =0, 1, (то есть Hij линейно независимы) и dim H1 = dim H2 =1. Тогда в Н можно найти два ортогональных базиса {e1, e2} и {g1, g2}, в которых матрицы операторов Р1 и Р2 имеют вид . Найдем матрицу оператора Р2 в базисе {e1, e2}.

Пусть g1 = a11e1 + a12 e2

 g2 = a21e1 + a22e2

e1 = b11g1 + b12g2

e2 = b21g1 + b22g2

Рассмотрим векторы h1 = eite1 и h2 = eile2, тогда

|| h1 || = || eite1 || = || e1 || = 1, || h2 || = || eile2 || = || e2 || = 1

(h1 ,h2 ) = (eite1 , eile2) = ei(t-l)(e1, e2 ) = 0, то есть {h1 ,h2} – ортонормированный базис.

Р1h1 =ei t Р1 e1 = h1, Р1h2 =eil Р1 e2 = 0.

Значит в базисе {h1 ,h2} матрица оператора Р1 также имеет вид . Тогда можно считать, что a11, a12 > 0 (так как, например, a11 e1=|a11| eite1 =|a11| h1)

(e1, e2 ) = 0, значит a11 a21 = a12 a22 = 0 или , тогда существует такое комплексное число r, что

a22 = - ra11

a21 = ra12

Базис (e1, e2 ) ортонормированный; следовательно

a112 + a122 = 1

|a22 |2 + |a21 |2 = 0

тогда | r | = 1.

Р2 e1 = Р2 ( b11g1 + b12g2) = b11g1 = b11a11e1 + b11a12e2,

Р2 e2 = Р2 ( b21g1 + b22g2) = b21g1 = b21a11e1 + b21a12e2.

Найдем b11 и b21:

e1 = b11g1 + b12g2 = b11 (a11e1 + a12 e2) + b12 (a21e1 + a22e2) = (b11a11 + b12a12)e1 + (b11a12 + b12a22)e2,

b11a11 + b12a12 = 1

b11a12 + b12a22 = 0 или

b11a11 + b12a12 r = 1

b11a12 - b12a11 r = 0,

Тогда b11 = a11.

Аналогично

E2 = b21g1 + b22g2 = (b21a11 + b22a21)e1 + (b21a12 + b22a22)e2,

b21a11 + b22a21= 0

b21a12 + b22a22 = 1,

отсюда находим, что b21 = a12.

Тогда матрица оператора Р2 в базисе {e1, e2 } будет иметь вид (обозначим ее также через Р2)

Р2 = , где a11>0, a12>0 и a112 + a122 =1

А) Пусть a112 = τ, тогда a122 =1 – τ, a11a12 = . Так как a11a12 >0, то τ(0, 1).

Тогда Р2 = .

В) Положим a11 = cosφ,тогда a12 = sinφ и Р2 запишется следующим образом

Р2 = .

Найдем коммутант π(P2). Пусть Т =  оператор перестановочный с Р1 и Р2, тогда

ТР1 =  =

Р1Т =  =

Следовательно b = c = 0.

ТР2 =  =

Р2Т =  =

Следовательно a = d. Тогда Т скалярный оператор и по лемме Шура (теорема 2.6. глава I) представление π неприводимо.

Покажем, что все эти представления неэквивалентны.

Пусть τ, ν(0, 1), τ ≠ ν. Предположим, что существует унитарный оператор в Н, устанавливающий эквивалентность. Тогда

UР1 = Р1U, следовательно U= , a, b C

UР2 (τ) =  =

Р2 (ν) U =  = .

Тогда τ = ν, следовательно U = 0 и представления неэквивалентны.

Теорема 1.1. Пусть π: P2 →L(H) - *-представление *-алгебры P2 .

Тогда:

(i) Все одномерные и неэквивалентные представления имеют вид: π0,0(p1) = 0; π0,0(p2) = 0; π1,0(p1) = 1; π1,0(p2) = 0; π0,1(p1) = 0; π0,1(p2) = 1; π1,1(p1) = 1; π1,1(p2) = 1;

(ii) Все двумерные неприводимые и неэквивалентные представления имеют вид: π(p1)  , π(p2)  τ (0, 1).

Доказательство следует из сказанного выше и в пункте (ii) можно положить π(p2) =  φ (0, ).

1.4. n – мерные *-представления *-алгебры P2 . Рассмотрим случай нечетной размерности пространства Н. Если dimН=2n+1, где n>1 натуральное, то выполняется неравенство

max (dimН1, dimН1┴) + max (dimН2, dimН2┴) > 2n+1 (1.4.)

Тогда обязательно найдутся такие i = 0,1 и j= 0,1, что Нi,j ≠ {0}, следовательно, существует нетривиальное инвариантное подпространство относительно *-представления π, но тогда π приводимо.

Пусть теперь dimН=2n, n>1 натуральное. Будем считать, что dimН1 = n, dimН2 = n и Нi,j = {0} для любых i = 0,1 и j= 0,1, то есть Нi,j линейно независимы. Если это не так, то снова будет выполнятся неравенство (1.4.) и *-представление π окажется приводимым. При этих условиях справедлива лемма.

Лемма 1.1. Существует х ≠ 0, хН1 такой, что Р1Р2х = λх, где λС.

Доказательство. Пусть ,  ортонормированный базисы в Н, в которых матрицы операторов Р1 и Р2 имеют вид , где I – единичная матрица порядка n. Пусть базисы (е) и (g) связаны уравнениями

к = 1,…, n к = 1,…, n

Так как хН1, то , gk C, к = 1,…, n. Тогда

Р1Р2х = Р1Р2= Р1Р2= Р1=

= Р1= = () =

Таким образом получаем систему линейных однородных уравнений относительно q1,…, qn:

=

j = 1,…, n

Подбирая λC так, чтобы определитель этой системы обратился в нуль, получим ненулевое решение q1,…, qn. Это доказывает лемму.

Лемма 1.2. Пусть элемент х удовлетворяет условиям леммы 15. Тогда L=л.о. {х, Р2х} – инвариантное подпространство в Н относительно Р1 и Р2.

Доказательство. Проверим инвариантность L. Для любых a, b С имеем

Р1 (aх + bР2х) = aх + λbх = (a + λb) х L,

Р2 (aх + bР2х) = aР2х + bР2х = (a + b) Р2 х L

dimL = 2, так как Нi,j = {0} (для всех i, j= 0,1).

Действительно, если aх + bР2х = 0, где, например, а ≠ 0, то х =  Р2х, значит = 0 или 1 и х Н1,1; тогда Н1,1≠{0}.

Итак, получаем предложение.

Теорема 1.2. Если dimН = n, n>2, то нет неприводимых *-пред- ставлений *-алгебры P2 . Все неприводимые конечномерные *-представления одномерны и двумерны.

1.5. Спектральная теорема. Пусть dimН = n. В этом пункте мы получим разложение на неприводимые *-подпредставления исходного *-представления π *-алгебры P2, а также разложение пространства Н на инвариантные подпространства относительно π.

Теорема 3.1. (спектральная теорема). Существует единственное разложе- ние Н в ортогональную сумму инвариантных относительно Р1 и Р2 подпространств

Н = Н0,0Н0,1Н1,0Н1,1  ((С2Нк)), (1.1.)

где каждому подпространству Нк соответствует одно φк (0, ), φк ≠ φi при к≠i, dimНк = nк (к = 1,…, m). Пусть Рi,j: Н → Нi,j , Рφк: Н → С2Нк – ортопроекторы к = 1,…, m. Тогда существуют единственные разложения операторов

I = P0,0 P0,1 P1,0 P1,1(Рφк), (1.2.)

P1 = P1,0P1,1((Iк )) (1.3)

Р2 = P0,1 P1,1  (Iк )) (1.4)

где Iк – единичный оператор на Нк (к = 1,…, m).

Доказательство. Пусть dimНi,j = ni,j. Сразу можем записать разложение

Н = Н0,0 Н0,1 Н1,0 Н1,1  Н΄, где dimН΄ четное число. Используя лемму 1.2. и теорему 2.1. главы I можем написать разложение Н΄ в ортого- нальную сумму инвариантных двумерных подпространств, определяемых параметром φк (0, ):

Н΄ = Нφк, (l = n - )

Собирая вместе все Нφк, у которых одно φк, получим изоморфизм

Нφк…Нφк ≈ С2Нк , где Нφк nк экземпляров, dim(Нφк…Нφк )=2nк dim(С2Нк) = dimС2 dimНк = 2nк . Следовательно, получаем разложение (1.1.)

Н = Н0,0  Н0,1 Н1,0 Н1,1  ((С2Нк))

Пусть πi,j – сужение π на Нi,j ( i, j= 0,1), πк – сужение π на Нφк (к = 1,…, m), то есть πi,j и πк - *-подпредставления.

Учитывая кратности подпредставлений получаем

π = n0,0π0,0n0,1π0,1n1,0π1,0n1,1π1,1(nкπк) (1.5.)

В силу теоремы 2.8. главы I разложения (1.1.) и (1.5.) единственные.

Из (1.1.) следует разложение единичного оператора I (1.2.)

I = P0,0  P0,1 P1,0 P1,1  (Рφк)

Тогда ортопроекторы Р1 и Р2 примут вид

P1 = P1,0 P1,1  ((Iк ))

Р2 = P0,1 P1,1  (Iк ))

Причем n1,0π1,0(р1) = P1,0 , n0,1π0,1(p2) = P0,1 , n1,1π1,1(р1) = P1,1 , n0,0π0,0(p2) = P0,0. В силу теоремы 2.8. главы I разложения I, Р1 и Р2 также определяются однозначно.

§ 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве

2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P2 . Пусть А = Р1 - Р1┴ = 2Р1 – I и В = Р2 – Р2┴ = 2Р2 – I. Тогда А2 = I , В2 = I. Следовательно А и В самосопряженные унитарные операторы в Н. Положим U=АВ, тогда U-1=ВА и А-1UА = АUА = А2ВА = ВА = U-1, следовательно

UА = АU-1 или АU = U-1А (2.1.)

Лемма 2.1. Операторы А и В неприводимы тогда и только тогда, когда операторы А и U неприводимы.

Доказательство. Допустим, что А и В неприводимы. Пусть существует нетривиальное инвариантное подпространство L относительно операторов А и U. Тогда UL = АВLL, но тогда ВLАLL, то есть пара А, В – приводима.

Обратно, пусть А и U неприводимы. Если операторы А и В приводимы, то есть LН: АLL и ВLL, то из включения АВLАLL следует приводимость А и U, что невозможно.

Лемма 2.2. Ортопроекторы Р1 и Р2 неприводимы тогда и только тогда, когда А и В неприводимы.

Доказательство. Пусть Р1 и Р2 приводимые операторы, когда существует нетривиальное инвариантное подпространство LН такое, что Р1LL, Р2LL. Рассмотрим АL = (2Р1 – I)LL, ВL = (2Р2 – I)LL, то есть А и В приводимы.

Обратно, пусть А и В приводимые операторы, тогда Р1 и Р2 также будут приводимы, так как Р1L = LL, Р2L = LL, для любого инвариантного относительно А и В подпространства L в Н.

Лемма 2.3. Если eiφ(U), то e-iφ(U).

Доказательство.

1) Если eiφ принадлежит точечному спектру оператора U, то существует fН: ||f|| = 1 и Uf = eiφ f. Тогда по (2.1.) UАf = АU-1f = eiφАf, следовательно, Аf собственный вектор оператора U, то есть e-iφ принадлежит спектру U.

2) Если eiφ(U), то существует последовательность единичных векторов  в Н || fn || = 1 такая, что

||Ufn - eiφfn || = || UАfn - eiφ A fn || = || U-1Аfn - eiφ A fn || → 0 при n → ∞ (|| Аfn || =1)

Тогда eiφ(U-1), следовательно e-iφ(U).

Теорема 2.1. Неприводимые пары А и В самосопряженных операторов лишь одномерны и двумерны.

Доказательство. Рассмотрим соотношения

А (U + U-1) = АU + АU-1 = (U-1 +U)А

А (U - U-1) = А (U2 – 2I + U-2) = (U2 – 2I + U-2)А = (U - U-1)2А

Таким образом А (U + U-1) = (U-1 +U)А (2.2.)

А (U - U-1) = (U - U-1)2А (2.3.)

Пара А и U неприводима (лемма 2.1.), тогда по теореме 2.6. главы I имеем

U + U-1 = cI

(U - U-1)2 = d2I

где c, d С. По теореме преобразования спектров eiφ+ e-iφ = c, eiφ- e-iφ = ±d.

Если d = 0, то (U) состоит из одной точки eiφ, где φ=0 или φ=π, и U = I или U = -I. Так как А, U неприводимая пара, то dimН=1 и А = +I или А = -I. Поскольку существует одномерное инвариантное подпространство y оператора А: л.о. {(A+I)x}, хH.

Если d ≠ 0, то (U) дискретен и состоит из двух точек eiφ= и e-iφ= φ(0, π)

Собственное подпространство оператора U, отвечающее собственному значению eiφ (или e-iφ), Нeiφ = {fH | Uf = eiφf} одномерно. Действительно, подпространство, натянутое на собственные векторы f и Af для оператора U: Uf = eiφf, U(Аf) = eiφ Аf инвариантно относительно операторов U и А. U и А неприводимы, значит dimНeiφ= dimН-eiφ=1

Таким образом, все неприводимые пары операторов U и А такие, что (U) = {eiφ, e-iφ} φ(0, π) в базисе из собственных векторов оператора U имеют вид:

А = , U = , В =

Теорема 2.2. Неприводимые пары Р1, Р2 ортопроекторов лишь одномер- ны и двумерны.

Доказательство. Сразу следует из леммы 2.2.

Похожие работы

*-Алгебры и их применение

Скачать

69018

1

0

... ;0,0(p2) = P0,0. В силу теоремы 2.8. главы I разложения I, Р1 и Р2 также определяются однозначно. § 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве 2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P2 . Пусть А = Р1 - Р1┴ = 2Р1 – I и В = Р2 – Р2┴ = 2Р2 – I. Тогда А2 = I , В2 = I. Следовательно А и В самосопряженные унитарные операторы в Н. Положим U=АВ, тогда U-1=ВА и А-1UА ...

Изучение элементов современной алгебры, на примере подгрупп симметрических групп, на факультативных занятиях по математике

Скачать

75806

4

238

... для того, чтобы показать школьникам образец современной математической теории. 2.2.3.2. ПРОГРАММА И СОДЕРЖАНИЕ ЗАНЯТИЙ ФАКУЛЬТАТИВНОГО КУРСА «ЭЛЕМЕНТЫ СОВРЕМЕННОЙ АЛГЕБРЫ» В качестве экспериментальной работы мы предлагаем изучение элементов современной алгебры в рамках факультативного курса по математике. Нами была разработана программа факультативного курса «Элементы современной алгебры» и ...

Алгебра логики

Скачать

10756

9

3

... угодно сложные в логическом отношении схемы, можно строить, используя два приема: 1.  последовательное соединение элементов; 2.  перестановка входов элементов. Этим двум физическим приемам в алгебре логики соответствуют: 1.  принцип суперпозиции (подстановка в функцию вместо ее аргументов других функций); 2.  подстановка аргументов (изменение порядка записи аргументов функций или замена ...

Вопросы к гос. экзамену по дисциплине "Математика – Алгебра"

Скачать

66655

0

0

... 4. Бинарные отношения. Математика как наука отражает мир взаимодействующих простых и сложных объектов (вещей, явлений, процессов). Абстрагируясь от реальности, математика рассматривает унарные, бинарные и другие отношения. В вопросе требуется рассмотреть бинарные отношения, их свойства и особо обратить внимание на отношение эквивалентности, заданного на одном множестве. Рассмотрим ...