3.1.1 Метод моментів

Метод моментів є одним із методів точечного оцінювання параметрів розподілу.

Нехай закон розподілу випадкової величини X відомий із точністю до числових значень його параметрів 1,2,…,k. Це означає, що відомий вид функції щільності fx(х, ), де = (1,2,…,k), якщо X безперервна (відомий вид функції ймовірності Р (X= х,), якщо X дискретна), але числові значення k параметрів не відомі. Знайдемо оцінку = (1,2,…,k) параметра 0, розташовуючи вибіркою: х1, х2..., хп.

Допустимо, що існує k початкових моментів, кожний із який можна висловити через  (без обмеження спільності можна розглядати тільки початкові моменти, тому що центральні моменти є функціями початкових). Нехай такими моментами будуть перший, другий,..., k-й: v1,v2,…,vk (що зовсім не обов'язково). Висловимо кожний із них через :


(3.1)

Помітимо, що в системі

(3.2)

число рівнянь повинно бути рівним числу k оцінюваних параметрів. Знайдемо рішення системи (3.2). Висловивши кожний параметр q через v1,v2,…,vk, одержимо:

(3.3)

Властивість змістовності вибіркових початкових моментів є підставою для заміни в рівняннях (3.3) теоретичних моментів v1,v2,…,vk на обчислені при великому п вибіркові моменти v1,v2,…,vk.

Оцінками методу моментів параметрів 1,2,…,k називаються оцінки

(3.4)

Питання про те, які початкові моменти включати в систему (3.2), варто вирішувати, керуючись конкретними цілями дослідження і порівняльної простоти форм залежностей моментів від параметрів. У статистичній практиці справа рідко доходить навіть до четвертих моментів.

Приклад 3.1.1 Випадковий розмір Х~ N (а, σ), при цьому числові значення параметрів а і σ2 не відомі. Знайдемо оцінки методу моментів для цих параметрів.

Використовуючи формулу (3.1), висловимо моменти v1 і v2 через а й σ2:

(v1=a)∩(v22 + σ2)- такий вид системи (3.2) у даному прикладі. Вирішивши її щодо а й σ 2, одержимо: а = v1 σ2 = v2 - v12. Звідси оцінки методу моментів:

це оцінка математичного чекання а;

це оцінка дисперсії σ2.

Відзначена раніше деяка невизначеність вибору початкових моментів може привести до одержання різних оцінок того самого параметра.

Приклад 3.1.2 Випадковий розмір X має розподіл Пуассона:

Знайдемо оцінку параметра X для двох

варіантів:

а) у якості початкового моменту візьмемо v1, одержимо:

б) у якості початкового моменту візьмемо v2; одержимо:

Оцінки - різні. Звичайно, краще перша: А, = х як більш проста і відповідному змісту параметра пуассонівського розподілу:

l = MX, тому за А, природно прийняти х - гарну точечну оцінку математичного чекання.

Однак не всі одержувані методом моментів оцінки мають властивості «гарної оцінки». Так, отримана в прикладі 3.1.1 оцінка

дисперсії σ2 не має властивість незміщеності а є асимптотично незміщеною оцінкою: lim мd= limn-1/n*=, тобто при великих п можна вважати, що не зміщена щодо .

Приведемо без доказу теорему про функції від моментів, із якої випливають визначені властивості оцінок методу моментів.

Припустимо, що  є функцією двох вибіркових моментів vk і vm: =h(v,vm), що не містить явно п. Позначимо  =h(v,vm), де vk =Mvk, a vm = M/vm (останні дві рівності вірні в силу властивості незміщенності вибіркових початкових моментів),


Теорема стверджує: якщо в деякій околиці точки (v,vm), функція h безперервна зі своїми першими і другими похідними, то при великих п розподіл випадкового розміру =h(v,vm) близько до нормального (n має асимптотично нормальний розподіл) із математичним чеканням, рівним В, і дисперсією, рівної

(3.5)

де С2() — деяка постійна, що залежить від . (Теорему можна поширити на будь-яку кількість моментів — аргументів функції h)

З теореми випливає, що при виконанні досить загальних умов оцінка методу моментів ), при великих п задовольняє наступним співвідношенням:

(3.6)

тобто оцінка методу моментів є асимптотично незміщенною,

(3.7)

Переконаємося в тому, що  має властивість забезпеченості. Дійсно, нерівність Чебішева для розміру  при великих п, прийме вид:

звідси одержимо, що при п - P(/-/<)1.

Уведемо поняття ефективності й асимптотичної ефективності незміщеної оцінки скалярного параметра .

Ефективністю е() незміщеної оцінки  параметра  називають відношення min DQn(є s) — мінімально можливого значення дисперсії оцінки в класі S всіх незміщених оцінок параметра  до дисперсії Dn розглянутої оцінки. При виконанні функцією щільності fх(х, 0) [функцією імовірності Р(Х =х, )] досить загальних умов регулярності: дифференційованих по , незалежності області визначення від  і т. д. — має місце нерівність Рао—Крамера—Фреше:

(3.8)

де i() — кількість інформації про параметр , що міститься в одиничному спостереженні, визначається співвідношенням

(3.9)

(i() — деяка постійна, що залежить від ). Тому

(3.10)

якщо е() = 1, то  — ефективна оцінка параметра  у класі S усіх

його незміщенних оцінок.

Асимптотичної ефективністю оцінки  називають розмір

(3.11)

якщо () = 1 то  — асимптотична ефективна оцінка (очевидно, що ефективна оцінка буде й асимптотично ефективною). Знайдемо вираження для асимптотичної ефективності оцінки

. Тому що при великих п оцінку  можна вважати незміщеною, то з урахуванням формул (3.11,3.10,3.7) одержимо

 

Приклад 3.1.3 Переконаємося в тому, що знайдена методом моментів по випадковій вибірці з генеральної сукупності X ~ N (а, а) оцінка X параметра а є ефективної в класі не зміщених оцінок, а оцінка 2 параметра 2 є, після виключення зміщення, асимптотично ефективною.

Оцінка X - незміщена, і DX = 2/п. Припустивши, що 2 відома, і використовуючи формулу (3.10), у якій, з обліком нормальності розподілу,

1(а) = М(dln f(x,a)/da) = 1/ 2 одержимо, що е() = 1. Звідси X - ефективна оцінка.

Оцінка  - зміщена; виключивши зміщення, одержимо оцінку

дисперсія котрої Ds =2/n-1.

Припустивши, що а відомо, і використовуючи вираження (3.10), у котрому, с обліком нормальності розподілу,

одержимо, що ефективність е(s2) =(n – 1/n)<1, а асимптотична эффективність e0(s2) = lim e(s2) = 1. Отже, s2 – асимптотична эффективна оцінка.

Зауваження.

Незміщеною і ефективною оцінкою дисперсії є використовувана при відомому значенні параметра а оцінка s = (Xі -a) / п, тому що Мs = 2, Ds = 2/n и е(s) = 1.

При виконанні досить загальних умов усі три оцінки: 2,s2 і s забеспечені.

У приведеному прикладі оцінки методу моментів X і 2 є відповідно ефективної й асимптотично ефективної. Однак подібні приклади швидке виключення: набагато частіше оцінки методу моментів із погляду ефективності не є найкращими з можливих навіть при великих п. Р. Фишер показав, що асимптотична ефективність цих оцінок часто значно менше одиниці. Асимптотично ефективні оцінки можуть бути отримані методом максимальної правдоподібності.


Информация о работе «Види розподілу ймовірностей й оцінка його параметрів»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 39861
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 10

Похожие работы

Скачать
54810
5
18

... . Поклавши у формулі (4) а = b = 1, дістанемо Нехай маємо скінченну множину, яка містить п елементів. Тоді кількість підмножин цієї множини дорівнює 2n. Наприклад, для множини {a,b,c} маємо Ø, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}.   ПОЧАТКИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ   § 1. Про предмет теорії ймовірностей До цього часу розглядалися задачі, в яких результат дії був однозначно ...

Скачать
215682
46
12

... поданих на рис. 1.5 методик. Відповідно до цієї методики аналіз інвестиційної привабливості підприємства здійснюється в послідовності, наведеній на рис. 1.6. Аналіз і оцінка інвестиційної привабливості підприємства на основі аналізу фінансових показників передбачають дослідження фінансово-економічних процесів на підприємстві (табл. 1.2). Таблиця 1.2 Цілі аналізу фінансово-економічних процесів ...

Скачать
23029
0
0

... і невилучених систематичних складових повної похибки результату вимірювання, її оцінювання проводиться відповідно до методики, викладеної в підп.2.9.4. Оцінка результату і похибки прямих багаторазових вимірювань Постійно зростаючі вимоги до точності прямих вимірювань задовольняються не тільки за рахунок підвищення точності заново створених ЗВТ, але й використанням більш ефективних методів ...

Скачать
115544
10
0

... заційної реструктуризації. Щоб більш результативно запобігати банкрутству, необхідно вирішити завдання запровадження ефективних, адаптованих до вітчизняних умов, механізмів визначення ймовірності банкрутства ще до виникнення явних ознак неплатоспроможності підприємства, а також створити відповідну систему моніторингу роботи підприємств на рівні регіонів. Аналіз літератури показує, що у даний час ...

0 комментариев


Наверх