2. Відповідно до рівняння (3.2.21),

а так як при k = п -1 = 18 50, = 0,297 (див. табл. П. 4.6), то 17,575<σ<32,425 - ця оцінка симетрична щодо s. Вона, як і випливало очікувати, відрізняється від попередньої інтервальної оцінки, однак

 


3.2.1 Асимптотичний підхід до інтервального оцінювання

З прикладами інтервальних оцінок, що мають місце тільки при великих об'ємах вибірок, ми вже зштовхувалися. Так, якщо розподіл випадкового розміру X відмінно від нормального, але п велике, то з імовірністю ≈ 1 - а інтервальна оцінка для MX = а має вид нерівності (3.2.3); з імовірністю ≈ 1-а інтервальна оцінка для р при великих п має вид нерівності (3.2.6) і т. д. [див. нерівності (3.2.9), (3.2.23)].

Розглянемо асимптотичний підхід у загальному випадку.

Раніше було встановлено, що при виконанні досить широких умов оцінка  параметра , отримана або методом моментів або методом максимальної правдоподібності, має в самому загальному випадку асимптотичний нормальний розподіл і асимптотично несумісної, тобто при великих п оцінка . Однак на відміну від ситуації, розглянутої на раніше, де дисперсія D оцінки передбачалася відомої, у загальному випадку дисперсія Dоцінки  залежить від оцінюваного невідомого параметра θ:

(3.2.24)

Тому напряму перший підхід до довірчого інтервалу неприйнятий.

Порушимо питання так: не можна чи перетворити оцінку  у g – g() це невідомий параметр  у g = g (θ) так, щоб дисперсія D не залежала від θ. Викладемо схему добору такого перетворення, а потім пояснимо, як, використовуючи його, знайти інтервальну оцінку для θ.

Нехай θ — оцінка методу моментів: θ, а отже, і g = g(θ) є функціями вибіркових моментів. Тоді, відповідно до теореми про властивості функцій вибіркових моментів (див. 3.1), розподіл оцінки  при великих п близько до нормального,  і, з обліком виражень (3.5) і (3.2.25),

(аналогічні вираження утворюються і для оцінок максимальної правдоподібності в регулярному випадку). Але тому що дисперсія Dне повинна залежати від θ, то вираження c(θ) g'(θ) повинно бути постійним, наприклад, c(θ)g'(θ) = 1. Тоді g'(θ)= 1/ c(θ) і

(3.2.25)

при цьому довільна постійна в невизначеному інтегралі вибирається з розумінь простоти остаточних виражень.

Отже, при великих п розподіл оцінки близько до нормального, при цьому , a  і, отже,

Тому при великих п для g(9) з імовірністю * I — а має місце нерівність, подібна нерівності (3.2.3):

(3.2.26)

Застосувавши до всіх частинам нерівності (3.2.26) перетворений не , що є зворотною функцією до функції g, одержимо інтервальну оцінку для θ.

Приклад 3.2.5 Побудуємо довірчий інтервал для параметра розподілення Пуассона: Р(Х = х) =л.

У прикладі 3.2.2 була знайдена оцінка методу моментів  параметра ;  будучи оцінкою методу моментів, має асимптотично нормальний розподіл (ця властивість оцінки  випливає також і з центральної граничної теореми), при цьому  - оцінка, тому що , а дисперсія оцінки , залежить від параметра λ:

Зіставивши вираження для  с вираженням (3.2.24), одержимо

і, відповідно до рівності (3.2.25),

З урахуванням виду функції нерівність (3.2.26)

(3.2.27)

Для функції  при х ≥ 0 і у ≥ 0 зворотна функція . Тому, якщо в нерівності (3.2.27)

то, застосувавши до всіх його частинам перетворення  одержимо нерівність

(3.2.28)

яке виконується при великих п з імовірністю ≈ 1 - α.

Приклад 3.2.6 Побудуємо довірчий інтервал для р - імовірності успіху в одиничному випробуванні.

У прикладі 3.2.4 методом максимальної правдоподібності для р була знайдена оцінка , де  - випадкове число успіхів у п випробуваннях Бернуллі; р має асимптотичний нормальний розподіл, при цьому М = р, a D= р(1 – р)/п - дисперсія залежить від параметра р.

Зіставивши вираження для D із вираженням (3.2.24), одержимо

і, відповідно до формули (3.2.25),

З обліком виду функції g(p) нерівність (3.2.26) прийме вид:

(3.2.29)

Для функції  при 0 <  < 1 зворотна функція , де 0 < у < π. Тому, якщо в нерівності (3.2.29)

 та , то застосувавши до всіх його частинам перетворення одержимо нерівність;

який виконується при великих п з імовірністю ≈ 1 - α.



Информация о работе «Види розподілу ймовірностей й оцінка його параметрів»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 39861
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 10

Похожие работы

Скачать
54810
5
18

... . Поклавши у формулі (4) а = b = 1, дістанемо Нехай маємо скінченну множину, яка містить п елементів. Тоді кількість підмножин цієї множини дорівнює 2n. Наприклад, для множини {a,b,c} маємо Ø, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}.   ПОЧАТКИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ   § 1. Про предмет теорії ймовірностей До цього часу розглядалися задачі, в яких результат дії був однозначно ...

Скачать
215682
46
12

... поданих на рис. 1.5 методик. Відповідно до цієї методики аналіз інвестиційної привабливості підприємства здійснюється в послідовності, наведеній на рис. 1.6. Аналіз і оцінка інвестиційної привабливості підприємства на основі аналізу фінансових показників передбачають дослідження фінансово-економічних процесів на підприємстві (табл. 1.2). Таблиця 1.2 Цілі аналізу фінансово-економічних процесів ...

Скачать
23029
0
0

... і невилучених систематичних складових повної похибки результату вимірювання, її оцінювання проводиться відповідно до методики, викладеної в підп.2.9.4. Оцінка результату і похибки прямих багаторазових вимірювань Постійно зростаючі вимоги до точності прямих вимірювань задовольняються не тільки за рахунок підвищення точності заново створених ЗВТ, але й використанням більш ефективних методів ...

Скачать
115544
10
0

... заційної реструктуризації. Щоб більш результативно запобігати банкрутству, необхідно вирішити завдання запровадження ефективних, адаптованих до вітчизняних умов, механізмів визначення ймовірності банкрутства ще до виникнення явних ознак неплатоспроможності підприємства, а також створити відповідну систему моніторингу роботи підприємств на рівні регіонів. Аналіз літератури показує, що у даний час ...

0 комментариев


Наверх