Знайти всі значення а, для яких існує пара від’ємних чисел х та у, які задовольняють умові

8. Знайти всі значення а, для яких існує пара від’ємних чисел х та у, які задовольняють умові

Розв’язання. Нерівність х + 2у > а задає півплощину з "пливучою" межею х + 2у = а. Оскільки очевидно, що а < 0, то система нерівностей    задає внутрішню область трикутника ОАВ з координатами вершин О (0; 0), А (0; а), В - рис.1.2.16.

Рис.1.2.16

Все прямі сім’ї прямих  проходять через точку М (0;

1). Очевидно початкова система має Розв’язання, якщо прямі сім’ї перетинають вісь абсцис в точках, які лежать між А та О. Для прямої  при фіксованому а абсциса точки перетину с віссю х дорівнює . Тоді залишилося вимагати, щоб . Звідси .

Відповідь: .

9. При яких значеннях параметра а рівняння  не має розв’язків?

Розв’язання. Розглянемо функції  та , які задають: сім’ю "кутів" та сім’ю прямих, які проходять через точку . Оскільки кожен з графіків функцій знаходиться у "русі", то при пошуку їх спільних точок (або умов їх відсутності) виникають ускладнення. Тому спробуємо застосувати такий метод: "зупинимо" один з рухів за допомогою заміни.

Нехай . Тоді  і початкове рівняння приймає вигляд . Всі прямі виду  проходять через точку . Оскільки положення точки М не зафіксовано, то поворот не формує сім’ю прямих. Однак сама ідея повороту є результативною.

Очевидно ордината точки М завжди від’ємна. За допомогою рис.39 легко побачити, що якщо прямі сім’ї прямих проходять між сторонами кута АМВ , то в цьому і тільки в цьому випадку початкове рівняння має розв’язки.

Рис.1.2.17

Таким чином, кутовий коефіцієнт  прямих задовольняє вимозі . Звідси

Відповідь:

1. Знайти число розв’язків системи рівнянь ()

Розв’язання. Побудуємо графіки функцій  (квадрат зі стороною ) та . Члени сім’ї функцій  - гомотетичні кола (з центром гомотетії (0,0)).

Рис.1.3.1

Якщо коло лежить всередині квадрата, то розв’язків немає.

Якщо коло вписане в квадрат, то з’являються розв’язки. В цьому випадку з теореми Піфагора: .

При система немає розв’язків, при  система має 4 розв’язки. Далі зі збільшенням  () кожна сторона квадрата має дві спільні точки перетину з колом (всього 8 розв’язків).

При  квадрат вписаний в коло, маємо 4 розв’язки. При  розв’язків немає. Відповідь: при  розв’язків немає, при  - 4 розв’язки, при  - 8 розв’язків, при  - 4 розв’язки, при  розв’язків немає.

2. При яких дійсних значеннях  система

має 8 різних розв’язків?

Розв’язнання. Побудуємо графіки функцій  (ромб зі стороною довжиною ) та . Члени сім’ї функцій  - гомотетичні кола (з центром гомотетії (0,0)).

Рис.1.3.2

Знайдемо значення параметра , при якому коло дотикається до ромба.

З прямокутного трикутника (зі сторонами  та 1) знайдемо , тоді з трикутника АВС , звідки .

Зі збільшенням  система буде мати 8 розв’язків (8 точок перетину кола з ромбом). А при  система буде мати 4 розв’язки (4 точки перетину з ромбом). Отже, . Відповідь:

3. Визначити, при яких  система рівнянь

має точно два розв’язки.

Розв’язання. Перепишемо систему рівнянь у вигляді

Перше рівняння визначає гомотетичні кола (з центром гомотетії (0,0) та радіусом ). Друге рівняння - об’єднання двох прямих: , . Побудуємо прямі та кола на графіку.

Рис.1.3.3

Система буде мати точно 2 розв’язки, коли коло дотикається двох прямих. Знайдемо параметр . З  гіпотенуза , . З  , тоді , . Остаточно знаходимо . Відповідь: .

4. Для кожного від’ємного числа  розв’язати нерівність .

Розв’язання. Перепишемо нерівність у вигляді . Побудуємо графіки  та . Членами сім’ї функцій є гомотетичні півкола (центр гомотетії - точка (0,0)). З нерівності випливає, що півкола повинні лежати вище прямої .

Кутовий коефіцієнт прямої  дорівнює -2. Тоді , , із : , .

Рис.1.3.4

, звідки

, .

Розв’язком нерівності для кожного від’ємного числа  буде проміжок . Відповідь: .

5. Скільки розв’язків в залежності від  має рівняння .

Розв’язання. Перепишемо рівняння у вигляді . Побудуємо графіки функцій  (гомотетичні кути з вершиною в точці (2,0)) та . При  графіки наведені на рисунку 1.3.5

Рис.1.3.5

З рис.1.3.5 видно, що при  спільних точок графіки не мають, рівняння розв’язків немає.

При  графіки  та  наведені на рисунку 1.3.6.

З рис.1.3.6 видно, що при  , - 1 розв’язок;

при  - 2 точки перетину графіків (2 розв’язки);

при  - 3 точки перетину графіків (3 розв’язки);

при  - 4 точки перетину графіків (4 розв’язки).

Рис.1.3.6

Відповідь: при  , - 1 розв’язок; при  - 2 розв’язки; при  - 3 розв’язки; при  - 4 розв’язки.

6. При яких значеннях  криві  та  мають тільки одну спільну точку?

Розв’язання. Необхідно розв’язати рівняння  або . Побудуємо графіки функцій  (гомотетичні вітки парабол з центром гомотетії (0,0)) та . ОДЗ рівняння: .

При  маємо 1 розв’язок.

Розглянемо випадок дотику двох графіків.

Запишемо рівняння дотичних до кожного з графіків в точці :

, звідси .

Підставляємо  в рівняння , тоді , .

Рис.1.3.7

Відповідь:  або .

7. При яких значеннях параметра  рівняння  має єдиний розв’язок, більше одного розв’язку, немає розв’язків?

Розв’язання. Побудуємо графіки функцій  та .

Рис.1.3.8

Розв’яжемо рівняння на проміжку  для того, щоб знайти точку дотику функцій.

Якщо , то , , при  .

Таким чином, при  - 1 розв’язок, при - точки перетину графіків є (більше одного розв’язку), при - немає точок перетину графіків (немає розв’язків).

Відповідь: при  - 1 розв’язок, при  - більше одного розв’язку, при  немає розв’язків.

Задачі для самостійної роботи

1. При яких с система має хоча б один розв’язок?

Розв’язання. Спростимо нерівність системи. Маємо . Нехай . Тоді . Звідси з урахуванням того, що , одержимо . Запишемо , тобто . Таким чином, початкова система рівносильна такій:

Графіком першої нерівності цієї системи є півплощина з межею  (рис.1.3.9).

Рис.1.3.9

Очевидно система може мати розв’язки, якщо . Тоді рівняння

х ² + у ² = с задає сім’ю гомотетичних кіл з центром в точці О (0; 0). Рисунок підказує, що якщо радіус кола не менше довжини відрізка ОМ, тобто відстань від точки О до межі півплощини, то система має розв’язки. Маємо . З . Звідси .

Відповідь: .

2. Скільки розв’язків має система в залежності від параметра а?

Розв’язання. При  система розв’язків не має. При фіксованому  графіком першого рівняння є квадрат з вершинами (а; 0), (0; - а), (-а; 0), (0; а). Таким чином, членами сім’ї  є гомотетичні квадрати (центр гомотетії - точка О (0; 0)).

Якщо квадрат (рис.1.3.10) знаходиться в колі  система розв’язків не має.

Рис.1.3.10

Зі збільшенням а (квадрат "роздувається") розв’язки з’являються лише в той момент, коли квадрат буде вписаним в коло. В цьому випадку (а = 1) розв’язків буде чотири. Далі, при  кожна сторона квадрата має дві спільні точки з колом, тоді система буде мати вісім розв’язків. При  коло буде вписане в квадрат, тобто розв’язків стане знов чотири. Очевидно при  система розв’язків не має.

Відповідь: якщо  або , то немає розв’язків; якщо  або , то розв’язків чотири; якщо , то розв’язків вісім.

3. Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких рівняння  має рівно вісім розв’язків.

Розв’язання. Маємо , де . Розглянемо функції та . Перша з них задає сім’ю гомотетичних півкіл з центром в О (0; 0), друга - сім’ю прямих, паралельних вісі абсцис.

З рис.1.3.11 видно, що зі збільшенням радіуса  півкола зростає число коренів початкового рівняння. Їх буде рівно вісім, якщо .

Рис.1.3.11

Зауважимо, що а не є радіусом півкола, т. як .

Відповідь:  або .

Похожие работы

Особливості методики розв’язування фізичних задач у 7–8 класах 12–річної школи

Скачать

23260

0

0

... . Лише за наявності відповідної математичної підготовки слід вимагати від учнів запис та формулювання законв заломлення світла. У новій програмі з фізики для 12 – річної школи багато уваги приділено розв’язуванню фізичних задач. Так, підкреслено , що задачі потрібно ефективно використовувати на всіх етапах засвоєння фізичного знання : для розвитку інтересу, творчіх здібностей і мотивації учнів ...

Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь

Скачать

42497

0

10

... іну: , де . Двічі диференціюючи цю функцію і підставляючи вирази для похідних у рівняння (11.59), отримаємо крайову задачу з однорідними граничними умовами: , , . (11.71) Постановка задачі Щоб знайти єдиний розв'язок звичайного диференціального рівняння, необхідно задати деякі допоміжні умови, що використовуються для обчислення інтегрування. Для рі ...

Розв'язок задачі лінійного програмування

Скачать

17201

10

10

... 20 0 Mf 0 0 0 1 0 0 0 0 Отже, х* = (12, 8, 60), L(x*)max = 20.   Задача 3 Для задачі побудувати двоїсту, розв’язати і за розв’язком знайти розв’язок двоїстої:   Розв’язання: Кожна задача лінійного програмування пов’язана з іншою, так званою двоїстою задачею. Економічну інтерпретацію кожної з пари задач розглянемо на прикладі виробничої задачі. Початкова задача: max z ...

Міжпредметні зв’язки на уроках хімії при розв’язуванні хімічних задач

Скачать

45195

0

5

... що знаходяться в стані рівноваги. Для одержання остаточних висновків і підвищення вірогідності застосовуються методи математичного аналізу і математичного моделювання. Розділ ІІ   2.1 Міжпредметні зв’язки при розв’язуванні хімічних задач «Рішення задач – визнаний засіб розвитку мислення, яке легко поєднується з іншими засобами і прийомами навчання» (Цитович І.К.). При вивченні курсу хімії ...