Первые попытки введения понятия вероятности
Появление классического определения понятия вероятности
Первые попытки введения аксиоматического определения понятия вероятности
Появление аксиоматического определения понятия вероятности
Введение понятия математического ожидания и его дальнейшее развитие
Первоначальное осмысление статистической закономерности
Неравенство Чебышева. Закон больших чисел в форме Чебышева
Закон больших чисел для зависимых случайных величин
Усиление закона больших чисел. Появление необходимого и достаточного условий применимости закона больших чисел
Навигация
Появление аксиоматического определения понятия вероятности
Динамика развития некоторых понятий и теорем теории вероятностей
66135
знаков
2
таблицы
3
изображения
1.4 Появление аксиоматического определения понятия вероятности
На сегодняшний день закрепилось определение понятия вероятности данное А.Н. Колмогоровым в книге «Основные понятия теории вероятностей» (1933 г.) аксиоматически.
Уже были вскрыты глубокие аналогии между понятиями теории вероятностей и понятиями метрической теории функций. Были установлены аналогии между множеством и событием, мерой множества и вероятностью события, интегралом и математическим ожиданием и др.
Возникла потребность в аксиоматизации теории вероятностей исходя из теоретико-множественных представлений, что и было выполнено в книге Колмогорова. После этой аксиоматизации теория вероятностей заняла равноправное место среди других математических дисциплин.
Рассмотрим аксиоматику Колмогорова.
Пусть имеются наблюдения или испытания, которые хотя бы теоретически допускают возможность неограниченного повторения. Каждое отдельное испытание может иметь тот или иной исход в зависимости от случая. Совокупность всех этих возможных исходов образует множество E, которое является первым основным понятием аксиоматики. Это множество E называется множеством элементарных событий. Что из себя представляют события, являющиеся элементами этого множества, для дальнейшего логического построения совершенно безразлично, как безразлично для аксиоматического построения геометрии, что мы будем понимать под словами «точка», «прямая» и т.п. Только после такого аксиоматического построения теория вероятностей допускает различные интерпретации, в том числе и не связанные со случайными событиями. Любое подмножество множества E, т.е. любую совокупность возможных исходов, называют событием. Или другими словами: случайными событиями называются элементы множества F подмножеств из E. Далее рассматриваются не все события, а только некоторое тело событий. Теория вероятностей занимается только теми событиями, частота которых устойчива. Это положение в аксиоматической теории Колмогорова формализуется таким образом, что каждому событию, которое мы рассматриваем, ставится в соответствие некоторое положительное число, которое называется вероятностью данного события. При этом абстрагируются от всего того, что помогало сформулировать это понятие, например, от частоты. Это даёт возможность интерпретировать вероятность не только вероятностным способом. Тем самым значительно расширяются возможности вероятностей.
Сформулируем аксиомы Колмогорова [1,5].
1. Если случайные события A и B входят в состав F, то события A или B, A и B, не A и не B также содержатся в F.
2. F содержит в качестве элементов множество E и все отдельные его элементы.
3. Каждому элементу A из F поставлено в соответствие неотрицательное вещественное число P(A), называемое вероятностью события A.
4. P(E)=1.
5. Если A и B не пересекаются и принадлежат F, то P (A+B)=P(A)+P(B). Для бесконечных множеств F имеется ещё одна аксиома, которая для конечных множеств является следствием пяти приведённых аксиом.
6. Если пересечение последовательности событий 
пусто, то 
.
Аксиоматика Колмогорова способствовала тому, что теория вероятностей окончательно укрепилась как полноправная математическая дисциплина.
Проследив динамику развития и формирования понятия вероятности можно сделать вывод, что оно вырабатывалось сложными путями. Математики и философы, политики и просто увлечённые теорией вероятностей учёные пытались облечь понятие вероятности в конкретную форму. Давая правильные и ошибочные определения понятию вероятности, они маленькими шагами продвигались к верному решению этого вопроса. Но даже в хорошо и правильно сформулированных вариантах классического определения вероятности можно обнаружить пробелы и упущения. Например, почти во всех данных вариантах классического определения отсутствует условие конечности числа равновозможных событий, т.е. условие, что 
. Возможно это условие не оговаривалось, но подразумевалось. С построением системы аксиом для определения понятия вероятности задача некоторой несостоятельности классического определения вероятности была решена. Однако наблюдаются попытки дать трактовку вероятности с более широких позиций, в том числе и с позиций теории информации.
2. Динамика развития понятия математического ожидания
2.1 Предпосылки введения понятия математического ожидания
Одним из первых приблизился к определению понятия математического ожидания Д. Кардано в своей работе «Книга об игре в кости». Он определил условия безобидной игры, которые можно увидеть на следующем примере Кардано: бросаются две игральные кости. «Если, стало быть, кто-либо заявит, что он желал бы получить 1, 2 или 3, то ты знаешь, что для этого имеется 27 шансов, а так как вся серия состоит из 36, то остаётся 9 бросаний, в которых эти числа очков не выпадут; таким образом, эти числа будут находиться в тройном отношении. Следовательно, при четырёх бросаниях три выпадения будут благоприятны 1, 2 или 3, и только один раз не выйдет ни одного из трёх указанных чисел очков. Если тот, кто ждёт выпадения одного из трёх указанных чисел очков, поставит три асса (древнеримские медные монеты), а другой один, то сначала первый выиграет трижды и получит три асса, а затем второй выиграет один раз и получит три асса; таким образом, в общем итоге четырёх бросаний шансы их всегда сравняются. Стало быть, такие условия расчёта в игре – правильные; если же второй из них поставит больше, то ему придётся состязаться в игре на неравных условиях и с ущербом для себя; а если он поставит меньше, то с барышом.» Однако Кардано понимает, что эти утверждения справедливы только тогда, когда игра будет продолжаться достаточно долго [1].
Похожие работы
... о самом себе, как правило, кажутся ему убедительными независимо от того, основываются ли они на объективном знании или субъективном мнении, являются ли они истинными или ложными. 5. Динамика развития внутреннего «Я» индивида Самосознание в первые два года жизни На первых порах младенцы не могут провести грань между собой и окружающим их миром. Однако постепенно они начинают понимать, что ...
... регулирования природопользователя, но продолжает уничтожать колоссальные дары природы. Нет сомнения, что изобретательный человеческий ум в конце, концов все же найдет им замену. Теория Джона Мейнарда Кейнса Дж. М. Кейнс – своего рода революционер экономической науки нашего века. Английский экономист, влияние которого на экономическую мысль в XX века сравнимо с воздействием Адама Смита и Давида ...
... грамматических конструкций ограничено. Дети из группы с относительной слабостью третьего блока мозга обнаружили промежуточные результаты по лексико-синтаксическим показателям. Качественный анализ смыслового уровня речи обнаружил принципиально разные трудности детей трех групп: Для детей с относительной слабостью третьего блока мозга характерно большое количество пропусков смысловых звеньев, ...
... равенства и неравенства. При полном равенстве в распределении доходов "кривая Лоренца" представляла бы собой прямую и, наоборот, кривизна усиливается по мере роста неравенства. В соответствии с современной экономической теорией нежелательно как абсолютное равенство в распределении доходов, так и резкий разрыв в уровне жизни различных групп населения. Абсолютное равенство в доходах не стимулирует ...
0 комментариев