Первые попытки введения понятия вероятности
Появление классического определения понятия вероятности
Первые попытки введения аксиоматического определения понятия вероятности
Появление аксиоматического определения понятия вероятности
Введение понятия математического ожидания и его дальнейшее развитие
Первоначальное осмысление статистической закономерности
Неравенство Чебышева. Закон больших чисел в форме Чебышева
Закон больших чисел для зависимых случайных величин
Усиление закона больших чисел. Появление необходимого и достаточного условий применимости закона больших чисел
Навигация
Введение понятия математического ожидания и его дальнейшее развитие
Динамика развития некоторых понятий и теорем теории вероятностей
66135
знаков
2
таблицы
3
изображения
2.2 Введение понятия математического ожидания и его дальнейшее развитие
Обратимся к работе Х. Гюйгенса «О расчёте в азартных играх». Книга состоит из введения и 14 предложений. Рассмотрим первые три предложения [1].
Предложение 1: «Если я имею равные шансы получения a или b, то это мне стоит 
«.
Предложение 2: «Если я имею равные шансы на получение a, b или c, то это мне стоит столько же, как если бы я имел 
.
Предложение 3: «Если число случаев, в которых получается сумма a, равно p и число случаев, в которых получается сумма b, равно q, и все случаи одинаково легко могут произойти, то стоимость моего ожидания равна 
.
По существу Гюйгенс здесь так определяет математическое ожидание. Он фактически впервые вводит понятие математического ожидания и использует его. Математическое ожидание является обобщением понятия средней арифметической. Средняя арифметическая широко применялась в торговле и промышленности для определения средних цен, средней прибыли и т.п.
Терминология Гюйгенса в теории вероятностей несёт на себе отпечаток коммерческой терминологии. Он считает, что математическое ожидание – это цена шанса на выигрыш в безобидной игре и приходит к выводу, что справедливая цена – есть средняя цена. Он вычисляет «за какую справедливую цену я мог бы уступить своё место в игре другому». Сам Гюйгенс не называет математическое ожидание ожиданием, оно у него фигурирует как стоимость шанса. Впервые термин «ожидание» появляется в переводе работы Гюйгенса Францем ван Схоутеном.
Работа Х. Гюйгенса оказала большое влияние на Я. Бернулли. К предложениям 1, 2 и 3 Гюйгенса Бернулли делает обширное примечание.
«Автор этого трактата излагает …в этом и двух следующих предложениях основной принцип искусства предположений. Так как очень важно, чтобы этот принцип был хорошо понят, то я попытаюсь доказать его при помощи исчислений более обычных и более доступных всем, исходя исключительно из той аксиомы, или определения, что каждый должен ожидать или предполагает ожидать столько сколько он неминуемо получит.
Слово «ожидание» здесь не должно пониматься в его обычном смысле, согласно которому «ожидать» или «надеяться» относится к событию наиболее благоприятному, хотя может произойти наихудшее для нас; нужно понимать под этим словом надежду, которую мы имеем на получение лучшего, уменьшенную страхом худшего. Так что стоимость нашего ожидания всегда означает нечто среднее между лучшим, на что мы надеемся, и худшим, чего мы боимся…»
После рассмотрения предложения 3 Бернулли отмечает следующее: «Из рассмотрения …очевидно, что имеется большое сходство с правилом, называемым в арифметике правилом товарищества, которое состоит в нахождении цены смеси, составленной из определённых количеств различных вещей с различной ценой. Или, скорее, что вычисления являются абсолютно одинаковыми. Так, подобно тому, как сумма произведений количеств смешиваемых веществ на их соответственные цены, разделённая на сумму веществ, даёт искомую цену, которая всегда находится между крайними ценами, также сумма произведений случаев на соответственно приносимые ими выгоды, разделённая на число всех случаев, указывает стоимость ожидания, которая вследствие этого всегда является «средней между наибольшей и наименьшей из этих выгод».
Это достаточно хорошее объяснение математического ожидания и его связи со взвешенной средней арифметической [1].
В середине и во второй половине XVIII в. многие учёные занимались вопросами связанными с теорией вероятностей. Прежде всего, это относится к математикам, из которых можно выделить Д. Бернулли (1700–1778 гг.). Наиболее известной работой Д. Бернулли по теории вероятностей является «Опыт новой теории меры случая» (1738 г.), в которой он вводит понятие морального ожидания [2]. Однако, несмотря на то, что в дальнейшем многие учёные разрабатывали это понятие оно не прижилось в теории вероятностей. Д. Бернулли вводит правило подсчёта математического ожидания, которое он называет основным правилом: «Значение ожидаемой величины получается путём умножения значений отдельных ожидаемых величин на число случаев, в которых они могут появиться, и последующего деления суммы произведений на сумму всех случаев, при этом требуется, чтобы рассматривались те случаи, которые являются равновозможными между собой» [1, 2]. Это правило полностью соответствует определению математического ожидания дискретной случайной величины.
.
Здесь 
-значения отдельной i-ой ожидаемой величины,
-число случаев в которых может появиться i-ая ожидаемая величина,
n-число всех случаев.
Мы видим, что определение математического ожидания дискретной случайной величины окончательно сформировалось к середине XVIII в. и активно использовалось при решении различных задач. Однако понятие математического ожидания иногда считали недостаточным. Поэтому были попытки ввести понятие морального ожидания (нравственное ожидание), которое связано с «выгодой, зависящей от личных условий». Несмотря на то, что разработкой понятия морального ожидания занимались многие учёные (Д. Бернулли, Ж.Л. Бюффон, В.Я. Буняковский, Н.Е. Зернов, Лаплас, Пуассон, Лакруа), это понятие не закрепилось в науке.
Можно сделать вывод, что понятие математического ожидания преодолело сложный путь чтобы стать одним из главных и основных понятий в теории вероятностей.
3. Закон больших чисел
Похожие работы
... о самом себе, как правило, кажутся ему убедительными независимо от того, основываются ли они на объективном знании или субъективном мнении, являются ли они истинными или ложными. 5. Динамика развития внутреннего «Я» индивида Самосознание в первые два года жизни На первых порах младенцы не могут провести грань между собой и окружающим их миром. Однако постепенно они начинают понимать, что ...
... регулирования природопользователя, но продолжает уничтожать колоссальные дары природы. Нет сомнения, что изобретательный человеческий ум в конце, концов все же найдет им замену. Теория Джона Мейнарда Кейнса Дж. М. Кейнс – своего рода революционер экономической науки нашего века. Английский экономист, влияние которого на экономическую мысль в XX века сравнимо с воздействием Адама Смита и Давида ...
... грамматических конструкций ограничено. Дети из группы с относительной слабостью третьего блока мозга обнаружили промежуточные результаты по лексико-синтаксическим показателям. Качественный анализ смыслового уровня речи обнаружил принципиально разные трудности детей трех групп: Для детей с относительной слабостью третьего блока мозга характерно большое количество пропусков смысловых звеньев, ...
... равенства и неравенства. При полном равенстве в распределении доходов "кривая Лоренца" представляла бы собой прямую и, наоборот, кривизна усиливается по мере роста неравенства. В соответствии с современной экономической теорией нежелательно как абсолютное равенство в распределении доходов, так и резкий разрыв в уровне жизни различных групп населения. Абсолютное равенство в доходах не стимулирует ...
0 комментариев