Первые попытки введения понятия вероятности
Появление классического определения понятия вероятности
Первые попытки введения аксиоматического определения понятия вероятности
Появление аксиоматического определения понятия вероятности
Введение понятия математического ожидания и его дальнейшее развитие
Первоначальное осмысление статистической закономерности
Неравенство Чебышева. Закон больших чисел в форме Чебышева
Закон больших чисел для зависимых случайных величин
Усиление закона больших чисел. Появление необходимого и достаточного условий применимости закона больших чисел
Навигация
Закон больших чисел для зависимых случайных величин
Динамика развития некоторых понятий и теорем теории вероятностей
66135
знаков
2
таблицы
3
изображения
3.4 Закон больших чисел для зависимых случайных величин
А.А. Марков под этим законом понимал закон, «в силу которого с вероятностью, сколь угодно близкой к достоверности, можно утверждать, что среднее арифметическое из нескольких величин, при достаточно большом числе этих величин, будет произвольно мало отличаться от средней арифметической их математических ожиданий». При таком понимании закона больших чисел и теорема Бернулли и теорема Пуассона и теорема Чебышева будут его различными формами. Такое понимание теперь общепринято.
Чебышев распространил закон больших чисел на независимые случайные величины с равномерно ограниченными дисперсиями:
.
Марков расширил условия применимости этого закона. В работе «Распространение закона больших чисел на величины, зависящие друг от друга» Марков привёл следующую теорему [1,6].
Теорема.
Если последовательность взаимно независимых случайных величин 
такая, что
, то
.
Доказательство.
Рассмотрим величину
, 
.
Очевидно, что 
и величина 
ограничена <c, c-некоторое число. Применим теперь неравенство Чебышева к 
:
, или
.
Переходя к пределу получаем:
.
Что и требовалось доказать.
В этой работе Марков доказывает, что закон больших чисел применим к 
, если 
и связь величин такова, что увеличение любой из них влечёт за собой уменьшение математических ожиданий остальных.
Марков делает замечание: «к тому же заключению о применимости закона больших чисел не трудно прийти и в случае, когда математическое ожидание 
при всяком 
уменьшается с увеличением суммы 
«.
Марков рассматривает последовательность случайных величин, связанных в цепь. Такие цепи зависимых величин получили название марковских цепей. В этой работе Марков рассматривает простую цепь (простая цепь маркова – последовательность случайных величин, каждая из которых может принимать любое число исходов, причём вероятности исходов при 
-м испытании получают определённые значения, если известен только результат 
-го испытания), причём все 
принимают значения только 0 или 1. Он устанавливает, что эти случайные величины также подчинены закону больших чисел. Нужно отметить, что в работе Марков требовал, чтобы для всех вероятностей перехода выполнялось условие 
. Но выводы Маркова остаются справедливыми, если вместо такого сильного ограничения требовать только, чтобы это условие выполнялось хотя бы для одной вероятности при любом 
.
В конце своей работы Марков делает вывод, что независимость величин не составляет необходимого условия для существования закона больших чисел.
В настоящее время используется условие, аналогичное условию Маркова, но уже не только достаточное, но и необходимое для применимости закона больших чисел к последовательности произвольных случайных величин [4].
Теорема.
Для того чтобы для последовательности 
(как угодно зависимых) случайных величин при любом положительном 
выполнялось соотношение
, (3.4.1)
Необходимо и достаточно, чтобы при 
. (3.4.2)
Доказательство.
Предположим сначала, что (2) выполнено, и покажем, что в этом случае выполнено также (1). Обозначим через 
функцию распределения величины 
.
Легко проверить следующую цепочку соотношений:
Это неравенство доказывает достаточность условия теоремы.
Покажем теперь, что условие (2) необходимо. Легко видеть, что
Таким образом, 
.
Выбирая сначала сколь угодно малым, а затем 
достаточно большим, мы можем сделать правую часть последнего неравенства сколь угодно малой.
Что и требовалось доказать.
Похожие работы
... о самом себе, как правило, кажутся ему убедительными независимо от того, основываются ли они на объективном знании или субъективном мнении, являются ли они истинными или ложными. 5. Динамика развития внутреннего «Я» индивида Самосознание в первые два года жизни На первых порах младенцы не могут провести грань между собой и окружающим их миром. Однако постепенно они начинают понимать, что ...
... регулирования природопользователя, но продолжает уничтожать колоссальные дары природы. Нет сомнения, что изобретательный человеческий ум в конце, концов все же найдет им замену. Теория Джона Мейнарда Кейнса Дж. М. Кейнс – своего рода революционер экономической науки нашего века. Английский экономист, влияние которого на экономическую мысль в XX века сравнимо с воздействием Адама Смита и Давида ...
... грамматических конструкций ограничено. Дети из группы с относительной слабостью третьего блока мозга обнаружили промежуточные результаты по лексико-синтаксическим показателям. Качественный анализ смыслового уровня речи обнаружил принципиально разные трудности детей трех групп: Для детей с относительной слабостью третьего блока мозга характерно большое количество пропусков смысловых звеньев, ...
... равенства и неравенства. При полном равенстве в распределении доходов "кривая Лоренца" представляла бы собой прямую и, наоборот, кривизна усиливается по мере роста неравенства. В соответствии с современной экономической теорией нежелательно как абсолютное равенство в распределении доходов, так и резкий разрыв в уровне жизни различных групп населения. Абсолютное равенство в доходах не стимулирует ...
0 комментариев