Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка

1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка

 

Пусть система (1) наряду с интегралом (1.3) имеет интеграл вида:

mx+ny+p=0. (1.11)

Будем рассматривать теперь систему:

 (1.12)

Согласно формуле (1.4), где L (x, y)=Mx+Ny+P, M, N, P-постоянные, получаем равенство:

m (ax+by+a₁x²+2xy)+n (cx+dy+2xy+y²)=(mx+ny+p) (Mx+Ny+P).

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x^myⁿ слева и справа, получим равенства:

(a₁–M) m=0

 

(2-N) m+(2-M) n=0 (1.13)

 

(N-1) n=0

(a–P) m+cn–Mp=0

 

bm+(d–P) n–Np=0 (1.14)

 

Pp=0

Предполагаем, что кривая не проходит через начало координат, тогда p≠0, значит Р=0.

Из равенств (1.13) получаем, что М=а_1, N=1,

n=m, (1.15)

 

p= () m, m≠0.

Подставим эти коэффициенты в уравнение (1.14) и получим ещё одно условие на коэффициенты системы, которое совпадает с условием (1.8), то есть:

(a₁–2) a–a₁(a₁–2) b+c–a₁d =0.

Итак, имеет место следующая теорема:

Теорема 1.2 Система

 

Имеет частный интеграл mx+ny+p=0, коэффициенты которого выражаются формулами

n=m, p= () m, m≠0,

 

При условии, что коэффициенты системы связаны соотношением:

(a₁–2) a–a₁(a₁–2) b+c–a₁d =0 и а₁≠0, а₁≠2.

 

1.3    Необходимые и достаточные условия существования у двумерной стационарной системы двух частных интегралов в виде кривых первого и второго порядков

 

В подразделах 1.1–1.2 мы получили что система (1.1) будет иметь два частных интеграла в виде кривой первого порядка и кривой второго порядка, при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями:

(a₁–2) a–a₁(a₁–2) b+c–a₁d =0, (1.16)

 

2 ((a₁–2) a – a₁ (a₁–2) b–a₁d+c) ((a₁–2) a+a₁d)=0.

 

Причём а₁≠0, а₁≠2, в₁=в₂=с₂=1.

1.   Рассмотрим случай (a₁–2) a–a₁(a₁–2) b+c–a₁d =0, (a₁–2) a+a₁d=0.

Из этих равенств получили:

а= -d, d≠0

 

c=a₁(a₁–2) b+2a₁d.

Так как коэффициент d можно взять любым, неравным нулю, тогда предположим, что b=2d. Из следующих предположений, получаем:

b=2d,

 

a= -d, (1.17)

 

c=2a₁(a₁–1) d, d≠0, а₁≠2.

Получили, что коэффициенты системы (1.1) определяются формулами (1.17), при условиях (1.16), в которых параметры b₁=b₂=с₂=1, а₁≠0.

Выражения (1.6), (1.9), (1.15) при условии, что имеют место (1.17), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.3) и (1.11):

α=2 (a₁–2),

β=(a₁–2)²,

γ=2 (2а₁–3) d,

δ=2 (а₁–2) (2а₁–3) d, (1.18)

σ=(2а₁–1) d²,

 

n=m,

 

p=md, m≠0, d≠0, a₁≠2, a₁≠0.

Имеет место следующая теорема:

Теорема 1.3 Система

 

 

 

Имеет частные интегралы вида:

y²+2 (a₁–2) xy+(a₁–2)²x²+2 (2a₁–3) d+

+2 (a₁–2) (2a₁–3) dx+(2a₁–1) d²=0

и (a₁–2) x+y+(2a₁–3) d=0,

При условии, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры а₁ и d по формулам (1.17) и в₁=в₂=с₂=1.

2.   Рассмотрим случай:

(a₁–2) a–a₁(a₁–2) b+c–a₁d =0.

Выразим из этого условия коэффициент с, получим

с= a₁(a₁–2) b+ a₁d – (a₁–2) a.

Воспользуемся предположением из первого случая, что в=2d, d≠0, тогда коэффициент с=а₁(2а₁–3) d – (а₁–2) а.

Так как d-любое число, неравное нулю, предположим, что а=2а₁d.

Из соотношения (a₁–2) a–a₁(a₁–2) b+c–a₁d =0, при условиях, что b=2d, a=2a₁d, d-любое число, d≠0, получим формулы, выражающие коэффициенты системы (1.1) через параметр а₁ и коэффициент d, то есть: a=2a₁d,

b=2d, (1.19)

 

c=a₁d.

Равенства (1.6) – (1.9) и (1.14) при условии, что имеют место формулы (1.19), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.3) и (1.11):

α=2 (a₁–2),

β=(a₁–2)²,

γ=2 (а₁–1) d,

δ=2 (a₁–) (a₁–2) d, (1.20)

σ=(a₁–)²d²,

 

n=m,

 

p=md, a₁≠2, d≠0, m≠0.

Теорема 1.4 Система

 

2a₁dx+2dy+a₁x²+2xy,

=a₁dx+dy+2xy+y²

 

Имеет частные интегралы вида:

y²+2 (a₁–2) xy+(a₁–2)²x²+2 (a₁–1) dy+2 (a₁–) (a₁–2) dx+(a₁–)²d²=0

 

и

 

(a₁–2) x+y+(2a₁–3) d=0,

 

При условиях, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры а₁ и d по формулам (1.19) и в₁=в₂ =с₂=1, а₁≠2, а₁≠0, d-любое число.