Построение квадратичной двумерной стационарной системы

1. Построение квадратичной двумерной стационарной системы

 

1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой второго порядка

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений:

 

В данной работе будем рассматривать систему, в случае когда с₁=а₂=0, то есть систему:

(1.1)

Пусть система (1.1) в качестве частного интеграла имеет интеграл вида:

(1.2)

где F_k(x, y) – однородный полином от x и y степени k.

В качестве частного интеграла (1.2) возьмём кривую второго порядка вида:

F (x, y)=y²+αxy+βx²+γy+δx+σ=0. (1.3)

Согласно [8, c. 1752–1760] для интеграла (1.3) системы (1.1) имеет место соотношение:

(1.4)

где L (x, y)=mx+ny+p, m, n, p-постоянные.

Тогда для частного интеграла (1.3) получим равенство:

(αy+2βx+δ) (ax+by+a₁ x²+2b₁xy)+(2y+αx+γ) (cx+dy+2xy+c₂y²)=

(y²+αxy+βx²+γy+δx+σ) (mx+ny+k).

 

Будем предполагать, что коэффициенты системы (1.1) b₁=b₂=c₂=1, тогда для интеграла (1.3) получим равенство:

(αy+2βx+δ) (ax+by+а₁x²+2xy)+(2y+αx+γ) (cx+dy+2xy+y²)=

(y²+αxy+βx²+γy+δx+σ) (mx+ny+k).

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x^myⁿслева и справа, получим равенства:

2βа₁–mβ=0,  (1.5₁)

(4-n)+(2+a₁–m)α=0, (1.5₂)

(3-n)+4-m=0, (1.5₃)

n=2, (1.5₄)

(2a–k)β+(a₁–m)δ+cα=0, (1.5₅)

2bβ+(2-n)δ+(a–k)α+2c+dα+(2-m)γ=0,  (1.5₆)

bα+2d+(1-n)γ–k=0, (1.5₇)

 

aδ–kδ+cγ–mσ=0, (1.5₈)

bδ–kγ+dγ–nσ=0, (1.5₉)

kσ=0,

σ≠0, так как кривая не проходит через начало координат, значит k=0.

Из равенств (1.5₁) – (1.5₄) получим, что

n=2, m=2a_1,

 

α=2 (a₁–2), β=(a₁–2)²(1.6)

Для нахождения коэффициентов γ и δ рассматриваемого интеграла используем равенства (1.5₅) и (1.5₇):

γ=(a₁–2) b+2d,(1.7)

δ=≠0.

Коэффициенты α, β, γ, δ, m, n подставляем в равенство (1.5₆), получим условие на коэффициенты системы:

(a₁–2) a–a₁(a₁–2) b+c–a₁d =0. (1.8)

Для нахождения коэффициента σ используем уравнение (1.5₈). Получим:

σ=. (1.9)

Подставим коэффициенты γ, δ,σ и к=0 в равенство (1.5₉), получим второе условие, связывающее коэффициенты системы:

2 (a₁–2)²a²–2a₁(a₁–2)²ab+2 (a₁–2) ac-2a₁²(a₁ –2) bd+2a₁cd-2a₁²d²=0,

которое можно записать в виде:

 

2 ((a₁–2) a–a₁(a₁–2) b–a₁d+c) ((a₁–2) a+a₁d)=0 (1.10)

Итак, имеет место следующая теорема:

Теорема 1.1 Система

 

 

Имеет частный интеграл y²+αxy+βx²+γy+δx+σ=0, коэффициенты которого выражаются формулами:

 

α=2 (a₁–2),

 

β=(a₁–2)²,

 

γ=(a₁–2) b+2d,

 

δ=≠0,

 

σ=,

 

При условиях, что коэффициенты системы связаны соотношениями:

 

(a₁–2) a–a₁(a-2) b+c–a₁d =0,

2 ((a₁–2) a – a₁ (a₁–2) b–a₁d+c) ((a₁–2) a+a₁d)=0,

и а₁≠0, а₁≠2, с₁=а₂=0, a₁=b₁=c₂=1.