Исследование одной системы из второго класса построенных двумерных стационарных систем

2.2 Исследование одной системы из второго класса построенных двумерных стационарных систем

Рассмотрим систему (1.1) в предположении, что в₁=в₂=с₂=1, а₁=

и коэффициенты определяются формулами (1.19). Тогда система (1.1) будет иметь вид:

 (2.7)

Интегральные кривые в этом случае имеют вид:

4y²–4xy+x²+dy=0, (2.8)

-x+y=0. (2.9)

Найдём состояния равновесия системы (2.7). Для этого приравняем правые части системы нулю:

Решая эту систему, получим две пары точек, которые являются точками покоя системы (2.7): О (0,0), А().

Исследуем поведение траекторий решений системы (2.7) в окрестностях состояний равновесия О (0,0), А().

1. Исследуем точку О (0,0).

Составим характеристическое уравнение системы в точке О (0,0):

=0,

.

Характеристическими числами для точки О (0,0), будут

Так как один корень нулевой, тогда точка О (0,0) является сложным состоянием равновесия (изолированное состояние равновесия), для которого требуется дополнительное исследование. Для определения характера состояния равновесия О (0,0) воспользуемся теоремой [5].

Теорема 2.1 Пусть точка (0,0) – изолированное состояние равновесия системы:

 

где φ (x, y), ψ (x, y) – полиномы от x, y начиная со второй степени, y=φ(x) – решение уравнения y+Q₂(x, y)=0, а разложение функции ψ(x)=P₂(x, φ(x)) имеет вид:

 

 

Тогда:

1)         при m-нечётном и ∆_m>0 точка (0,0) – есть топологический узел;

2)         при m-нечётном и ∆_m<0 точка (0,0) – есть топологическое седло;

3)         при m-чётном точка (0,0) есть седло-узел, то есть такое состояние равновесия, каноническая окрестность которого состоит из параболического и двух гиперболических секторов; При этом:

а) если ∆_m<0, то внутри гиперболических

секторов заключён отрезок положительной

полуоси ОХ, примыкающий к точке (0,0);

б) если ∆_m<0, то – отрезок отрицательной

полуоси ОХ.

Чтобы воспользоваться теоремой, необходимо систему (2.7) привести к виду:

(2.10)

Это возможно сделать, воспользовавшись одним из следующих преобразований:

1. если в≠0,

2. если в=0, а=0,

3. если в=0, d=0,

где а, в, с, d – коэффициенты системы (2.7).

Для системы (2.7) воспользуемся следующим преобразованием:

Получим:

Откуда:

Следовательно, можем найти:

Тогда:

Чтобы данную систему привести к системе вида (2.10), сделаем замену  тогда dt=dh и получим систему:

Найдём решение уравнения:

y₁+  (2.11)

в виде ряда по степеням y₁:

y₁=φ(x₁)=c₁x₁+c₂x₁²+….

 

Подставим y₁=c₁x₁+c₂x₁²+… в уравнение (2.11), получим:

c₁x₁+c₂x₁²+ … +(c₁x₁+c₂x₁²+…)²+x₁(c₁x₁+c₂x₁²+…)–x₁²=0.

x₁¹: с₁=0,

x₁²: с₂+с₁+с₁=0,

Следовательно с₁=0, с₂=, ….

Тогда y₁=φ(x₁)= х₁²+….

Находим ψ(х₁)=Р₂(х₁,φ(х₁))=(+……)= +……..=∆_mx^m.

Получили m=3-нечётное, ∆_m>0.

Следовательно, по теореме 2.1 получаем, что точка О (0,0) – топологический узел.

2. Исследуем точку А().

Составим характеристическое уравнение в точке А().

Отсюда

P_x(x, y)=3d+3x+2y,

P_y(x, y)=2d+2x,

Q_x(x, y)=d+2y,

Q_y(x, y)=d+2x+2y.

Следовательно, характеристическое уравнение имеет вид:

=0.

Характеристическими числами для точки А() системы (2.7) будут λ₁=–4d, λ₂=d.

Корни λ₁, λ₂–действительные и одного знака, зависящие от параметра d. Если d<0, тогда точка А() – неустойчивый узел; если d>0, тогда точка А() – устойчивый узел.

Исследуем бесконечно-удалённую часть плоскости системы (2.7) вне концов оси ОУ. Преобразование [1]  переводит систему (2.7) в систему:

(2.12)

где t=zτ, dt=zdτ.

Изучим бесконечно-удалённые точки на оси U, то есть z=0. Получаем:

Следовательно, u₁=0, u₂=.

Таким образом, получили две точки N₁(0,0), N₂(0,), которые являются состояниями равновесия. Исследуем характер этих точек обычным способом.

1.         Исследуем точку N₁(0,0).

Составим характеристическое уравнение в точке N₁(0,0):

=0,

λ₁= , λ₂=.

Корни λ₁,λ₂–действительные и различных знаков, следовательно, точка N₁(0,0) – седло.

2.         Исследуем точку N₂(0,).

Составим характеристическое уравнение в точке N₂(0,):

 

P_z=–2u-6dz-4duz,

 

P_u=–2z-2dz²,

 

Q_z=d-2du-2du²,

 

Q_u=–2u-2dz-4duz.

Характеристическое уравнение имеет вид:

=0.

Следовательно, характеристические числа:

λ₁=, λ₂=.

Корни λ₁,λ₂–действительные, различных знаков, значит точка N₂(0,) является седлом.

Исследуем бесконечно-удалённые концы оси ОУ с помощью преобразования [1] x=, y=.Это преобразование переводит (2.7) в систему:

где t=zτ, dt=zdτ.

Для исследования состояний равновесия на концах оси ОУ, нам необходимо исследовать только точку (0,0), которая является состоянием равновесия данной системы. Составим характеристическое уравнение в точке (0,0):

=0.

Корни λ₁,λ₂–действительные и различных знаков, значит точка (0,0) – седло.

Теперь дадим распределение состояний равновесия системы (2.7) в виде таблицы 2.

Таблица 2

d	O (0,0)	A()	∞
			N0	N1	N2
(-∞; 0)	Топологическое Узел	Неустойчивый Узел	Седло	Устойчивый Узел	Седло
(0;∞)	Топологическое Узел	Устойчивый Узел	Седло	Устойчивый Узел	Седло

Положение кривых (2.8), (2.9) и расположение относительно их состояний равновесия при d<0 и d>0 даётся соответственно рис. 2 (а, б).

Поведение траекторий системы (2.7) в целом при d<0, d>0 представлено на рис. 4 (а, б) приложения Б.

Так как Воробьёв А.П. [10] доказал, что для систем, правые части которых есть полиномы второй степени, предельный цикл может окружать только точку типа фокуса, тогда исследуя вид кривых (2.8), (2.9) и расположение относительно их состояний равновесия, убеждаемся, что система (2.7) не имеет предельных циклов.

a) d<0

б) d>0

Рис. 2

Заключение

В данной дипломной работе построены два класса квадратичных двумерных стационарных систем при условии, что частными интегралами являются кривые второго и первого порядков. При этом коэффициенты кривых выражаются через произвольные параметры систем.

Проведено качественное исследование построенных классов систем при фиксированном значении одного из параметров системы. Выведены необходимые и достаточные условия существования у системы двух частных интегралов. В зависимости от условий на коэффициенты были рассмотрены два случая. Найдены состояния равновесия полученных систем, которые принадлежат интегральным кривым. Исследована бесконечно-удалённая часть плоскости систем и доказано отсутствие предельных циклов. Построена качественная картина поведения траекторий систем в круге Пуанкаре.

Список источников

1     Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.-М.-Л.: ГИТТЛ, 1947. – 839 с.

2     Бендиксон И. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. – УМН, 1941. – Вып. 9. – 643 с.

3     Биркгоф Дж.Д. Динамические системы. М.-Л.: Гостехиздат, 1941. – 340 с.

4     Еругин Н.П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую. – ПММ. – 1952. – Т.16, Вып. 6. – с. 659–670.

5     Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. - М.: Наука, 1976. – 274 с.

6     Серебрякова Н.Н. Качественное исследование одной системы дифференциальных уравнений теории колебаний. – ПММ. – 1963 Т.27, Вып. 1. – 230 с.

7     Черкас Л.А. Об алгебраических решениях уравнения , где P и Q – многочлены второй степени // ДАН БССР. – 1963. – Т.7, №11. – 950 с.

8     Яблонский А.И. Алгебраические интегралы одной системы дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. – 1970. – Т.6, №10. – с. 1752–1760.

9     Филипцов В.Ф. К вопросу алгебраических интегралов одной системы дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. – 1973. – Т.9, №3. – 256 с.

10   Воробьев А.П. К вопросу о циклах вокруг особой точки типа "узел" // ДАН БССР. – 1960. – Т.4, №9. – 720 с.