Обработка временных рядов методом наименьших квадратов

2.2.9 Обработка временных рядов методом наименьших квадратов

Сущность метода наименьших квадратов (МНК) заключается в минимизации суммы квадратов случайных отклонений , фактических значений временного ряда от тренда f(t):

 (2.15)

Минимизируется сумма квадратов отклонений, а не самих отклонений по той причине, что эти отклонения могут иметь как положительное, так и отрицательное значения и при суммировании взаимно погашаются. Отсюда название метода.

МНК дает наиболее точные результаты в случае, когда f(t) имеет линейный вид. Однако на практике этим методом пользуются и при определении параметров функций, описываемых параболической и гиперболической зависимостями; погрешность МНК в этом случае для практических целей не существенна. Рассмотрим МНК для определения параметров следующих зависимостей:

f(t)= a₀ + a₁t - линейная зависимость;

f(t)= a₀ + a₁t + a₂t² – парабола;

 - гипербола.

Для линейной зависимости условие (2.15) запишется в виде

  (2.16)

Для краткости обозначим сумму  через Q.

Тогда задача определения тренда формулируется так: найти такие значения коэффициентов а₀ и а₁, чтобы Q = min Q.

Необходимым условием осуществления минимума функции является равенство нулю частных производных этой функции по параметрам а₀ и а₁:

После преобразования получим систему так называемых нормальных уравнений:

Решив эту систему относительно а₀ и а₁, получим параметры функции f(t)= a₀ + a₁t.

2.2.10 Обработка временных рядов методом наименьших квадратов с весами

Экстраполяция выполненной с помощью МНК тенденции изменений показателя на прогнозный период предполагает, что вес наблюдения (уровни временного ряда) равнозначны для прогноза. Однако информация об изменении показателя в период времени, непосредственно примыкающий к моменту прогноза, "ценнее" для прогнозирования, чем в более удаленный. Но и более удаленные от момента прогноза наблюдения временною ряда также несут значительную информацию о процессе, поэтому пренебрегать этими наблюдениями при расчете прогноза не следует.

Для учета различной "ценности", или, как это принято в терминологии прогнозирования и информатики, "веса" информации в различные моменты времени применяют метод наименьших квадратов с весами (МНКВ) и метод экспоненциального сглаживания.

Рассмотрим метод наименьших квадратов с весами.

Суть метода заключается в том, что каждому отклонению , придается вес β_t<1, причем веса возрастают для точек, находящихся ближе к моменту прогнозирования. Следовательно, чем дальше наблюдение (уровень) стоит от момента прогноза, тем меньший вес оно имеет, тем меньшее влияние оказывает на формирование уровня прогнозного значения показателя.

Для определения веса β_t, удобно использовать выражение

β_t = λ^n-(t-1) (2.17)

где λ — некоторое число, меньшее единицы;

п — число наблюдений.

Чем меньше величина λ, тем меньше ранние наблюдения влияют на прогноз.

Условие (2.17) для МНКВ запишется в виде

Система нормальных уравнений для МНКВ имеет вид

2.2.11 Прогнозирование временных рядов методом экспоненциального сглаживания

Идея метода заключается в том, что временной ряд сглаживается с помощью взвешенной скользящей средней, веса которой подчиняются экспоненциальному закону, причем чем дальше от момента прогноза отстоит точка ряда, тем меньшее участие принимает она в формировании прогнозного значения.

В общем виде скользящая средняя S_t временного ряда по т наблюдениям при длине ряда п определяется по формуле

(2.18)

С помощью скользящей средней можно прогнозировать временные ряды, однако на практике этот метод используется редко из-за грубых результатов.

Прогноз временных рядов методом экспоненциального сглаживания (в дальнейшем ЭС) основывается на вычислении экспоненциальной средней k-гo порядка для ряда х_і:

 (2.19)

где — экспоненциальная средняя k-го порядка для t-го наблюдения временного ряда;

— экспоненциальная средняя [k-1]-го порядка для [t-1]-го наблюдения временного ряда;

k — порядок средней, характеризующий уровень ряда в зависимости от степени прогнозирующего полинома;

t — точка ряда, для которой вычисляется средняя;

i-номера точек, для которых вычисляется средняя, ;

α — параметр сглаживания.

Экспоненциальная средняя  для t-й точки временного ряда равняется некоторой доле экспоненциальной средней [k-1]-го порядка для предыдущей точки временного ряда.

Эта доля определяется коэффициентом α, называемым параметром сглаживания.

Физический смысл параметра α заключается в том, что он показывает вес t-го наблюдения в прогнозе.

Для рядов, описываемых линейной зависимостью, вычисляются дне экспоненциальные средние: первого и второго порядков:  и ; для рядов, описываемых квадратичной зависимостью, вычисляются три средние: первого, второго и третьего порядков: , , . Вообще для ряда

порядок k изменяется в пределах от 1 до n+1.

Экспоненциальную среднюю первого порядка вычисляют по формуле

 (2.20)

В практических вычислениях вместо формул (2.19) и (2.20) удобно использовать рекуррентное соотношение

 (2.21)

Экспоненциальная средняя  равняется сумме долей экспоненциальных средних и . Величина этих долей определяется параметром сглаживания α.

Для прогноза методом ЭС необходимо коэффициенты уравнения тренда, например коэффициенты а_д и а_} для линейного тренда х_t=а₀+а₁t, выразить через экспоненциальные средние по следующим формулам:

Тогда величина прогноза ряда х_t=а₀+а₁t для точки t+τ,

,

где l — глубина прогноза, рассчитывается по формуле

 (2.22)

Для случая, когда тренд описывается квадратичном полиномом х_t= a₀ + a₁t + 1/2a₂t², коэффициенты ,  ивыражаются через экспоненциальные средние следующим образом:

Прогнозные значения в этом случае рассчитываются по формуле

Для вычисления экспоненциальных средних линейной и квадратичной моделей необходимо задать значения параметра сглаживания α и так называемые начальные условия - ,,, которые подставляются в рекуррентную формулу (7.33) при вычислении , , для t = 1.

Параметр α подсчитывается приближенно по формуле

,

где т — число наблюдений, входящих в интервал сглаживания.

Начальные условия подсчитываются по формулам:

В этих формулах коэффициенты а₀, а₁ и а₂ вычисляются методом наименьших квадратов.

Суммарный вес С последних т наблюдений при α, определяемой по (2.22), вычисляется по формуле

 (2.24)

В общем виде последовательность расчетов при прогнозировании методом ЭС можно изобразим, в виде блок-схемы, представленной на рис. 2.10.

Рис. 2.10. Схема расчета прогноза методом экспоненциального сглаживания