Неумение применять теоретическую математику на практике
Определение не должно бать отицающим, Определение должно указывать признаки принадлежащие понятию, а не признаки которые оно не должно иметь
Т.к они подобны
Ердниев П.А., Ердниев Б.П. «Аналогия в задачах» 1989
Пункт
Получают цепочку следствий
Дробные числа появляются как результат измерения величин
Различные приемы введения отрицательных чисел. В учебной литературе можно отметить 3 способа введения отрицательных чисел
Из каких конкретных задач должен возникать вопрос о введении действительного числа и др
Навигация
Определение не должно бать отицающим, Определение должно указывать признаки принадлежащие понятию, а не признаки которые оно не должно иметь
Теория и методика обучения математике
77352
знака
1
таблица
7
изображений
3. Определение не должно бать отицающим, Определение должно указывать признаки принадлежащие понятию, а не признаки которые оно не должно иметь.
Н-р: параллелограмм- это не трапеция.
4. Определение должно быть ясным, т.е Определение не должно быть двухсмысловым или содержать метафологические выражения.
Н-р: подобные фигуры должны иметь одинаковую форму.
Нарушение этих требований к следующим ошибкам:
Ошибки связанные с неполным указанием родового понятия. Н-р: квадрат равносторонний прямоугольник.
В определении указывается род понятия, который для определяемого понятия не является не родом, не видом. Н-р: хорда это прямая соединения 1 точек окружности.
Тавтология в определении понятий, т.е предмет определяется через самого себя.
Ошибки связанные с неправильным указанием родового отличия:
а) Указываются не все требуемые видовые отличия. (угол образованный хордами)
б) избыток видовых отличий (параллелограмм- это прямоугольник, у которого противоположные стороны равны или параллельны)
5. Ошибки, связанные с пропуском слов (прямые лежащие в одной плоскости и не имеющие одной общей точки называются параллельными – 2 пропущено)
Понятие в школьном курсе математики представляется по группам:
понятие аналогии, которое является житейским представлением и включает донаучные понятия.
Понятие дается без определения.
Понятие дается через определения.
Понятие дается более расплывчатым, а затем более конкретизируется
Д/З. «Лабораторная работа» Лященко
Математические суждения.
виды математических суждений
логическая структура, теоремы. Виды теорем.
свойства и признак.
Суждением называется такая форма мышления, которая устанавливает связи между понятиями между объектами, охватываемые этими понятиями.
Суждения, правильно отображающие эти объективно существующие зависимости между вещами называется истинными, в противном случае ложные. Суждения имеют свою языковую оболочку в предложениях. Однако не всякое предложение является суждением, характерные признакам суждения является обязательное наличие истинности или ложности, выражающем его предложение.
Обычно математические суждение формулируется в виде математических предложений.
К математическим предложениям относятся: теоремы и аксиомы. Некоторые определения тоже относят к математическим предложениям.
К математическим предложениям относят уравнение неравенство, тождество и др.
Для выражения тех или иных научных суждений и для выражения логической структуры операции над ними используется язык математической логики, где используется термин высказывания близкий к термину суждений. Над высказываниями используются логические операции конъюнкция, дизъюнкция, и т. д..
Основными видами математических суждений являются: аксиомы, постулаты, теоремы.
Аксиома (от греческого то, что приемлема) - предложение, принимаемое без доказательства его истинность допускается.
В аксиомах высказываются утверждения о свойствах основных неопределяемых понятиях некоторые теории к системе аксиом предлагаются требования независимости, непротиворечивости, полноты.
Постулат (от лат. требование) – это предложение в котором выражаются некоторое требование (условие) к которому должно удовлетворять некоторое понятие или некоторого отношения между понятиями.
Теорема (от греч. рассматриваю, зрелище) – математическое предположение, истинность которого устанавливается по средствам доказательства (рассуждения).
2.В любой теореме можно выделить разъяснительную часть (Р), условие (А), заключение (В).
Пример: В теореме «если две прямые // 3-й, то они // между собой».
Р: три прямые
А: 2 // 3-й
В: 3 прямые // между собой
Любую теорему на языке логики можно записать так Р/А 
В или АВ.
Теорема имеющая одно условие называется простой.
Если имеется несколько условий, то называется теорема сложной.
П-р: сложной теоремой
1) если 2 // прямые пересечены третьей, то накрест лежащие углы равны и сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов (АВ1 
В2)
2) если диагональ четырехугольника точкой пересечения делится пополам, то эта фигура ромб (А1А2В).
Каждая сложная теорема может быть предложена в виде нескольких простых.
Для словесной формулировки теорем используется условное (со словами или … то) и категорическое (без этих слов)
Условная формы формулировки теорем отражает ее структуру и импликация высказываний из АВ.
Условная формы формулировки теорем удобна для изучения в ней после слов если, дается условие теоремы то, ее заключение.
П-р: 1) Средняя линия треугольника // основанию (категорическая форма)
2) Если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником ( условная форма)
3) Вертикальные углы равны (категорическая форма)
4) Если два угла вертикальные, то они равны (условная форма).
С любой теоремой связаны еще 3 теоремы.
1. АВ- прямая
2. ВА- обратная
3. 
- противоположная к первой
4. 
- контропозитивная.
1 2 пары эквивалентных
3 4 теорем.
П-р: 1) Если четырехугольник параллелограмм, то его диагонали пересекаясь делятся пополам (АВ- истина)
2) Если в четырехугольнике диагонали пересекаясь делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм (ВА- истина).
3) Если четырехугольник не параллелограмм, то его диагонали пересекаясь не делятся пополам (истина)
4) Если в четырехугольнике диагонали пересекаясь не делятся пополам, то этот четырехугольник не является параллелограммом (истина).
Отметим важные случаи простых и сложных теорем.
Следствие- это теорема, легко доказываемая с помощью одной теоремы.
Лемма- вспомогательная теорема представляющая интерес, только как ступень к доказательству другой теоремы.
Необходимое и достаточное условие.
Это теорема объединяющая в одной формулировке с использованием слов необходимо и достаточно прямую и обратную теорему.
А
В
-Теорема существования- это теорема, в которой отсутствуют условие и заключение, но утверждается существование какого-либо объекта, обладающего определенными свойствами ( Н-р: теорема существования параллельных прямых).
- Теорема единственности- эта теорема в которой нет условия и заключения, но утрачивается единственность какого-либо объекта, обладающего какими-то свойствами (Н-р: теорема единственности перпендикуляра к прямой проходящего через данную точку).
- Теорема тождества, теорема формула- это теоремы, выраженные языком математических символов.
Некоторые теоремы отражают свойства объекта (эти понятия), а некоторые его признаки.
Свойства понятия- это то что можем сказать о данном понятие всесторонне рассматривая его.
Признак понятия- это те показатели, по которым можно узнать данное понятие.
Отличить теорему выражающая свойство понятия от теоремы, выражающей его признаки помогает условная формы теоремы, если об объекте идет речь в условии, то это свойство понятия, а если в заключении, то признак, причем объект в формулировке встречается один раз.
П-р: Теорема: «Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность.»- это свойство прямоугольника.
Теорема в условной форме выражается так «если параллелограмм является прямоугольником, то вокруг него можно окружность». Здесь идет речь в условии теоремы.
Теорема: «Параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником»- это признак прямоугольника
Теорема в условной форме: «если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником».
Лекция 2. Индукция. Дедукция. Аналогия
Доказательство любой теоремы состоит из цепочки умозаключения.
Умозаключение- это рассуждение, в ходе которого из одного или нескольких суждений называемых посылками умозаключения выводятся новые суждения называемые заключением или следствием, логически вытекающих из посылок.
Умозаключение делится на непосредственные и опосредованные.
Непосредственным умозаключением называется умозаключение, если вывод делается на основании только одной посылки. (Н-р: параллелограмм- это четырехугольник.- нет не может)
Опосредованным умозаключением называется, если вывод делается на основании нескольких посылок. Умозаключение бывает достоверным, если вывод истинное утверждение и вероятностным, если истинность вывода не определена.
В зависимости от общности посылок и вывода выделяют следующие виды умозаключений:
Дедуктивное
Индуктивное
Традуктивное
Дедуктивное умозаключение или дедукция (от лат. выведение)- умозаключение от общего к частному, частичному или от более общего к менее общему.
Индуктивное умозаключение или индукция (от лат. наведение)- от частного к общему или от менее общего к более общему.
Традуктивное или традукция (от лат. перемещение)- умозаключение, в котором посылки и вывод имеют одинаковую степень общности.
Дедуктивное умозаключение - может быть непосредственным и опосредованным.
Самым распространенным видом опосредованного умозаключения является силлогизм.
В силлогизме содержатся три понятия, и состоит из посылок и вывода, его структуру можно представить в следующем виде:
Пример силлогизма
П - р силлогизма: Все ромбы (М) есть параллелограммы (Р).
Доказательство любой теоремы состоит из нескольких силлогизмов, на которые при доказательстве теорем делают ссылки только в устной форме, особо не выделяя силлогизмы (этапы доказательства).
П-р: Теорема: Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков обоих хорд равны произведению отрезку другой хорды.
Дано:
АВ и СД - хорды
Е- их точка пересечения
Доказать: АЕ*ВЕ=СЕ*ДЕ
Доказательство:
1 Силлогизм
БП Вписанные углы опирающие на одну и ту же равны.
МП угол 
1 и 2 вписанные и опираются на дугу АД.
В: Угол 1=2
2 Силлогизм.
БП: Вертикальные углы равны.
МП: Угол 3 4 вертикальные углы.
В: угол 3=4 .
3 Силлогизм
БП: 
АСЕ и ВЕД подобны.
МП: 1=2, 3=
Похожие работы
... в психологии. Воспитательные аспекты обучения математике раскрываются в соответствии с концепциями развития личности, которые разработаны в психологии и педагогике. Можно говорить о том, что методика обучения математике как научная область должна иметь такую же структуру, как и любая другая наука, т.е. она должна состоять из отдельных научных теорий. Каждая из них имеет один и тот же объект — ...
... выборок. 5. Исследовательские проекты и их защита. 3 2 1 2 2 2 1 1 1 3 2 1 2 2 Всего 10 5 10 Итого 60 34 Глава 2 Методика обучения школьников основам комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики в рамках профильной школы 2.1. Организация при формировании пространственного образа, c использованием ...
... , умения и навыки; - наличие сильных учеников как группы позволяет постоянно продумывать работу с ними, учитывать возможности их развития. 3. Капиносов А.Н. в статье “Уровневая дифференциация при обучении математике в V-IX классах” [14] рассматривает разбиение учащихся на 4 группы. Основой разбиения являются различия учащихся в темпах овладения учебным материалом, а также в способностях ...
... натурального ряда. В качестве графической модели используем числовой луч, на котором дети отмечают точки, соответствующие натуральным числам. Смысл действий сложения и вычитания. В курсе математики начальной школы находит отражение теоретико-множественный подход к истолкованию сложения и вычитания целых неотрицательных чисел, в соответствии с которым сложение связано с операцией объединения, ...
0 комментариев