Сущность и задачи стохастического моделирования

7.1 Сущность и задачи стохастического моделирования

Задачи детерминированного факторного анализа (ДФА) нашли широкое применение в практике аналитической работы, однако детерминированный подход не позволяет учитывать влияние на результативный показатель очень многих факторов, не находящихся с ним в пропорциональной зависимости (спрос, текучесть кадров, размещение торговой сети и т. д.). Кроме того, в задачах ДФА невозможно выделить результаты одновременно действующих факторов. Эти недостатки обусловили необходимость применения стохастического моделирования в экономическом анализе, называемого иначе математико-статистическими методами изучения связей, которые являются в определенной степени дополнением и углублением ДФА.

Таким образом, в экономическом анализе стохастические модели используются в тех случаях, когда необходимо:

– оценить влияние факторов, по которым нельзя построить жестко детерминированную модель;

– изучить и сравнить влияние факторов, которые нельзя включить в одну и ту же детерминированную модель;

– выделить и оценить влияние сложных факторов, которые не могут быть выражены одним определенным количественным показателем.

В отличие от детерминированного, стохастический подход для своей реализации требует выполнения ряда предпосылок:

1. Качественная однородность совокупности, т. е. в пределах варьирования значений факторов не должно происходить качественного скачка в характере отражаемого явления.

2. Достаточная численность совокупности наблюдения, позволяющая с точностью и надежностью выявить имеющиеся закономерности (в теории статистики считается, что количество наблюдений должно в 6-8 раз превышать количество факторов).

3. Наличие методов, т. е. специального математического аппарата, позволяющего выявить тесноту связи между изучаемыми показателями и оценить величину влияния факторов на изменение результативного показателя.

В целом стохастическое моделирование предназначено для решения трех задач:

1)  установление факта наличия или отсутствия связи между изучаемыми признаками;

2)  выявление причинных связей между изучаемыми показателями и количественное измерение действия факторов на результативный показатель;

3)  прогнозирование неизвестных значений результативных показателей.

Проведение стохастического моделирования осуществляется согласно следующим этапам:

1) качественный анализ, подразумевающий постановку цели анализа, определение результативных и факторных признаков, отбор и отсев факторов;

2) количественный анализ, т. е. построение регрессионной модели (уравнения регрессии) и расчет параметров уравнений регрессии;

3) проверка адекватности модели, т. е. оценка точности (надежности) уравнения связи и правомерности его использования для практической цели.

Практическая реализация указанных этапов основывается на применении корреляционного и регрессионного методов анализа, рассмотренных ниже.

7.2 Методы стохастического моделирования

Методы стохастического моделирования включают в себя корреляционно-регрессионный анализ, в результате которого будут рассчитаны коэффициенты ее тесноты и значимости (т. е. проведен корреляционный анализ); будет построена регрессионная зависимость (т.е. проведен регрессионный анализ), позволяющая количественно измерить действия факторов на результативный показатель.

1. Корреляционный метод позволяет количественно выразить взаимосвязь между показателями. При этом если показатель зависит от одного фактора, то речь идет о парной корреляции, если он зависит от множества факторов, то о множественной корреляции. Основная особенность корреляционного анализа в том, что он устанавливает лишь факт наличия связи и степень ее тесноты, не вскрывая причины.

Задача корреляционного анализа – выявить тесноту связи изучаемых признаков, что осуществляется либо с помощью коэффициента корреляции (при прямолинейной зависимости), либо с помощью корреляционного отношения (при линейной и нелинейной зависимости).

Коэффициент корреляции (парный коэффициент корреляции, линейный коэффициент корреляции) между фактором х и результативным показателем Y определяется следующим образом:

r = ,

где y – абсолютное значение результативного показателя; x – абсолютное значение фактора; n – количество наблюдений.

Коэффициент корреляции может принимать значения от –1 до +1. При этом если:

r = -1, то это означает наличие функциональной связи обратно-пропорционального характера;

r = +1, то это означает наличие функциональной связи прямо-пропорционального характера (и в этом и в другом случае переходят к детерминированному факторному анализу);

r = 0, то это означает отсутствие связи между фактором и изучаемым результативным показателем (фактор исключается из факторной системы);

Другие значения r свидетельствуют о наличии стохастической зависимости, причем чем больше /r/ стремится к 1, тем связь теснее. В частности:

/r/ < 0,3 означает слабую связь;

0,3 < /r/ < 0,7 – связь средней тесноты;

/r/ > 0,7 – связь тесная, т. е. имеется объективная возможность перейти к стохастическому факторному анализу.

При парной корреляции теснота связи изучается между результативным признаком и фактором.

В случае множественной корреляции тесноту связи между результативным показателем и набором факторов изучают на основе коэффициента множественной корреляции (R):

,

где  – среднее значение результативного показателя, вычисленное по уравнению регрессии;  – среднее значение результативного показателя, вычисленное по исходным данным.

Коэффициент множественной корреляции принимает только положительные значения в пределах от 0 до 1. При значении R≤0,3 говорят о малой зависимости между величинами, при значении 0,3 < R< 0,6 – о средней тесноте связи, при R>0,6 – о наличии существенной связи.

При множественной корреляции теснота связи изучается:

– между результативным признаком (функцией) и каждой переменной (аргументом);

– между переменными попарно.

Альтернативным показателем степени зависимости между двумя переменными является коэффициент детерминации, представляющий собой возведение в квадрат коэффициента корреляции (r² или R² – величина достоверности аппроксимации). Коэффициент детерминации, значение которого должно стремиться к 1, показывает, чему равна доля влияния изучаемого (изучаемых) фактора (факторов) на результативный показатель. При этом следует помнить, что при условии, если r² (или R²)<0,5, синтезированные математические модели связи практического значения не имеют.

Практическая реализация корреляционного анализа включает следующие последовательные этапы:

1) постановка задач и выбор признаков;

2) формирование массива исходной статистической информации, определение степени ее однородности (на основе коэффициента вариации);

3) предварительная характеристика взаимосвязи (аналитические группировки, графики);

4) устранение мультиколлинеарности (взаимозависимости факторов), уточнение набора факторов (отбор наиболее существенных) на основе коэффициента корреляции, индекса детерминации или критерия Стьюдента (подробно см. п. 7.3). При этом в ходе отбора факторов следует придерживаться следующих правил:

– учитывать причинно-следственные связи между показателями (не рекомендуется включать в модель взаимосвязанные факторы: если парный коэффициент корреляции между двумя факторами больше 0,85, то один из них необходимо исключить).

– отбирать самые значимые факторы;

– рассматривать только те факторы, которые должны быть количественно измеримы, т. е. иметь единицу измерения и находить отражение в учете и отчетности;

– учитывать только однонаправленные факторы (т. е. при линейном характере зависимости нельзя включать в модель факторы, связь которых с результативным показателем имеет криволинейный характер);

После осуществления всех вышеуказанных процедур в случае установления факта высокой тесноты связи (> 0,7) приступают к решению второй задачи – регрессионному анализу, который позволяет выявить конкретные величины влияния факторов на изменение результативного показателя.

2. Регрессионный анализ – это метод установления аналитического выражения (т.е. уравнения регрессии) стохастической зависимости между исследуемыми признаками.

Уравнение регрессии показывает, как в среднем изменяется результативный признак (Y) при изменении любой из переменных (Х_i) и имеет вид: Y = f (x₁,x_2,…x_n),

где Y – зависимая переменная, т.е. результативный показатель; x_i – независимые переменные (факторы).

В ходе регрессионного анализа решаются две главные задачи:

– построение уравнения регрессии, т. е. нахождение вида зависимости между результативным показателем и независимыми факторами;

– оценка значимости полученного уравнения (на основе коэффициента детерминации, критерия Фишера и критерия Стьюдента).

Вид уравнения регрессии определяется по графику, изображающему связь между факторами и результативным показателем, который строится на основе однородной совокупности статистических данных и служит обоснованием уравнения связи.

Если зависимость линейная (на графике изображена в виде прямой восходящей или снисходящей линии), то при:

а) однофакторном анализе уравнение будет иметь вид: Y(х) = а +b·x,

где Y – результативный показатель; b – коэффициент регрессии, который показывает, насколько изменится результативный показатель при изменении фактора на 1 ед.; а – свободный член, который показывает величину влияния неучтенных факторов; х – фактор;

б) многофакторном анализе уравнение будет иметь вид:

Y(х) = а +b₁x₁ + b₂x₂ +…+ b_nx_n.

Если зависимость нелинейная (на графике изображена в виде параболы или гиперболы), то уравнение регрессии принимает следующий вид:

Y(х) = а +b·x + с·x² – при графике в виде параболы;

Y(х) = а +b:x ² – при графике в виде гиперболы.

При сложном характере зависимости между изучаемыми явлениями используются более сложные параболы (третьего, четвертого порядка (полинома) и т. д.), а также квадратическое, степенные, показательные и другие функции.

Выбор конкретного уравнения регрессии и его решение осуществляется в рамках табличного процессора MS Excel или статистического программного пакета STADIA[17].

Сущность решения уравнений регрессии заключается в нахождении параметров регрессии (а и b). Это осуществляется по способу наименьших квадратов с использованием системы нормальных уравнений, суть которого заключается в минимизации суммы квадратов отклонений фактических значений результативного показателя от его расчетных значений[18].

При прямолинейной зависимости система нормальных уравнений имеет вид:

∑y = na +b∑x

∑xy = a∑x +b∑x².

При криволинейной зависимости:

∑y=nf+b∑1/x

∑y(1/x)= a∑1/x +b∑(1/x)².

Для оценки адекватности модели используют такие критерии, как ошибка аппроксимации, F-отношения, коэффициента детерминации, подробно рассмотренные в п. 7.3.

В необходимых случаях построение уравнения регрессии может быть использовано для прогнозирования результативного признака.

Апробируем методику корреляционно-регрессионного анализа на конкретном примере.

Пример 7.1 На основании данных табл. А необходимо проанализировать зависимость между расходами на оплату труда (Y) и выручкой от продажи товаров (х).

Таблица А – Данные о выручке от продажи товаров и сумме расходов на оплату труда в разрезе торговых организаций тыс. руб.

На основании данных табл. А построим график зависимости изменения расходов на оплату труда от изменения товарооборота (см. рисунок).

Зависимость динамики расходов на оплату труда от выручки от продажи товаров

Данные графика свидетельствуют о том, что между расходами на оплату труда и выручкой от продажи товаров существует прямолинейная зависимость. Далее измерим тесноту связи между изучаемыми показателями на основе коэффициента корреляции, для чего сгруппируем магазины по сумме выручки от продажи товаров (см. тему 3) и составим следующую разработочную таблицу (табл. Б).

Таблица Б – Разработочная таблица для определения показателей, используемых при расчете коэффициента корреляции

Примечание. Согласно данным таблицы, элементы расчета коэффициента корреляции имеют следующие значения:

Σx_i = 221,971;

Σy_i = 9,639; Σy_ix_i =904,586; Σx²_i = 21 354,107; Σy² = 38,550.

Рассчитанные данные подставляются в формулу коэффициента корреляции:

r =

Коэффициент детерминации: r²=0,8²=0,64.

Коэффициент корреляции, равный 0,8 ед., означает наличие высокой стохастической зависимости между суммой расходов на оплату труда и выручкой от реализации. Образование данной стохастической зависимости объясняется наличием (и доминированием в данном случае) постоянной части расходов по заработной плате, начисление которой не увязано с динамикой результата хозяйственной деятельности организации, т. е. выручки от продажи, а значение коэффициента детерминации, составляющее 0,64 ед. означает, что изменение расходов на оплату труда на 64 % объясняется изменением выручки от продажи, что дает основание для проведения регрессионного анализа.

Согласно виду графика, представленного на рисунке, между изучаемыми показателями существует прямолинейная корреляционная зависимость, в связи с чем уравнение регрессии будет иметь вид: Y(х) = а +b·x,

где Y – расходы на оплату труда; х – выручка от продажи товаров.

Для определения параметров а и в следует решить систему нормальных уравнений методом наименьших квадратов:

 ∑y = na +b∑x

 ∑xy = a∑x +b∑x².

Отсюда значения коэффициента в определяется по формуле

.

Рассчитанное значение параметра в говорит о том, что при увеличении выручки от продажи товаров на 1 млн руб. расходы на оплату труда возрастут на 42,3 тыс. руб. При этом подставив значение данного параметра в первое уравнение системы, определим значение параметра а:

∑y = na +b∑x

9,639=а·28+0,0423·221,971

28а=0,0423·221,971-9,639

28а=0,2496

а=0,009.

Значение параметра а показывает, что коэффициент регрессии может быть применим для торговых организаций с размером выручки от продажи за год свыше 9 млн. руб.

В целом уравнение регрессии имеет вид: y = 0,009+0,0423·х.

Полученное уравнение связи можно использовать для прогнозирования суммы расходов на оплату труда, если выручка от продажи возрастет и составит, например, 15 млн руб.:

y = 0,009+0,0423·х=0,009+0,0423·15=0,644 млн. руб.

7.3 Критерии оценки адекватности результатов стохастического анализа

При выполнении регрессионного анализа необходимо получить оценки, позволяющие оценить точность модели, вероятность ее существования и обоснованность применения в аналитических целях. Таким образом, качество корреляционно-регрессионного анализа обеспечивается выполнением ряда следующих условий:

1. Однородность исходной информации, которая оценивается в зависимости от относительного ее распределения около среднего значения. Критериями здесь служат (подробно см. тему 3):

– среднеквадратическое отклонение;

– коэффициент вариации;

– коэффициент равномерности;

– закон нормального распределения.

2. Значимость коэффициентов корреляции может быть оценена (наряду с уже указанным выше коэффициентом детерминации) с помощью t-критерия Стьюдента, алгоритм расчета которого при линейной однофакторной связи имеет вид:

.

Если полученное эмпирическое (расчетное) значение критерия (t_э) будет больше критического табличного значения[19] (t_т), то коэффициент корреляции можно признать значимым.

3. Адекватность (надежность) уравнения регрессии оценивается с помощью F-критерия Фишера, алгоритм расчета которого выглядит следующим образом:

,

где m – число параметров уравнения регрессии; σ²_y – дисперсия по линии регрессии; σ²_ост – остаточная дисперсия.

Если эмпирическое значение F-критерия (F_э) окажется выше табличного (F_т), то уравнение регрессии следует признать адекватным, т. е. правомерным для использования. При этом чем выше величина критерия Фишера, тем точнее в уравнении связи представлена зависимость, сложившаяся между факторными и результативными показателями.

4. Сравнительная сила влияния факторов, оценка которой необходима с целью определения проблемной и наиболее эффективной в перспективе зоны для направления усилий в конкретную область бизнеса. Решение этой задачи может быть осуществимо посредством использования:[20]

а) частных коэффициентов эластичности (Э_i), показывающих ожидаемый рост результативного показателя (в %) с возрастанием факторного на 1 %:

б) стандартизированных бета-коэффициентов (β_i):

Чем выше бета-коэффициент, тем сильнее воздействие анализируемого фактора на результативный признак.

Тесты для самоконтроля знаний по теме 7

1. Коэффициент корреляции, равный 0, означает:

а)         наличие функциональной связи обратно пропорционального характера;

б)         наличие функциональной связи прямо-пропорционального характера;

в)         отсутствие связи между фактором и изучаемым результативным показателем.

2. Коэффициент корреляции, равный (-1), означает:

а)         наличие функциональной связи обратно пропорционального характера;

б)         наличие функциональной связи прямо пропорционального характера;

в)         отсутствие связи между фактором и изучаемым результативным показателем.

3. О наличии стохастической зависимости свидетельствует значение коэффициента корреляции, равное:

а)         -1;

б)         +1;

в)         0;

г)          другие значения.

4. Аналитическая задача, которую позволяют решить методы стохастического моделирования:

а)         установление факта наличия или отсутствия связи между изучаемыми признаками;

б)         выявление общей тенденции изменения изучаемого показателя;

в)         выбор оптимального варианта решения проблемы;

г)          количественно оценка влияния факторов, находящихся с результативным показателем в функциональной зависимости.

5. Выявить тесноту связи факторных показателей и результативного позволяет:

а)         корреляционный анализ;

б)         регрессионный анализ;

в)         детерминированный анализ.

6. Метод установления аналитического выражения (уравнения) стохастической зависимости между исследуемыми признаками – это … анализ.

7. В ходе регрессионного анализа решается следующая аналитическая задача:

а)         нахождение вида зависимости между результативным показателем и независимыми факторами;

б)         выявление тесноты связи факторных показателей и результативного;

в)         количественная оценка влияния факторов, находящихся с результативным показателем в функциональной зависимости.

8. Для оценки достоверности полученного уравнения регрессии используют:

а)         коэффициент детерминации;

б)         критерий Фишера;

в)         критерий Стьюдента;

г)          коэффициент Кенделя;

д)         коэффициент долевого участия интенсивных факторов;

е)          коэффициент ритмичности;

ж)        коэффициент экстенсивности.

9. При линейной однофакторной зависимости уравнение регрессии будет иметь вид:

а)         y (х) = а +b·x;

б)         y (х) = а +b₁·x₁ + b_2*x₂ +…+ b_n·x_n;

в)         y (x) = a+в:х.

10. При линейной многофакторной зависимости уравнение регрессии будет иметь вид:

а) y(х) = а +b·x;

б) y (х) = а +b₁·x₁ + b₂·x₂ +…+ b_n·x_n;

 в) y (x) = a+в:х.

11. В уравнении регрессии вида y(х) = а +b·x  y – это:

а)         результативный показатель;

б)         коэффициент регрессии;

в)         свободный член.

12. В уравнении регрессии вида y(х) = а +b·x  а – это:

а)         результативный показатель

б)         коэффициент регрессии;

в)         свободный член.

13. Коэффициент регрессии (b) в уравнении регрессии вида y(х) = а +b·x показывает:

а)         на сколько изменится значение результативного показателя при изменении фактора на единицу;

б)         величину влияния неучтенных факторов.

14. Если полученное эмпирическое (расчетное) значение критерия Стьюдента (t_э) будет больше критического табличного значения (t_т), то коэффициент корреляции … признать значимым.

Похожие работы

Эволюционное развитие экономического анализа хозяйственной деятельности в России с позиций экстернализма

Скачать

35180

1

0

... акцентировать внимание не на основах, а на второстепенных вопросах анализа деятельности предприятий". Отказываясь от истории развития аналитической мысли в дореволюционной России, анализ хозяйственной деятельности считают абсолютно новой конкретной экономической дисциплиной, являющейся "детищем" социалистического общества. Подтверждением тому является высказывание В.И. Ленина в выписке из работы ...

История развития экономического анализа. Применение теории массового обслуживания в экономическом анализе

Скачать

45326

0

0

... и эффективным средством выработки оптимальных управленческий решений, главной особенностью которых в современных условиях становится их своевременность. 2 Применение теории массового обслуживания в экономическом анализе 2.1 Теория массового обслуживания Теория массового обслуживания – вероятностные модели реальных систем обслуживания населения, при которых время обслуживания будет ...

Научные основы экономического анализа. Понятие и значение экономического анализа, его место в системе экономических наук

Скачать

64660

13

2

... в самостоятельную отрасль экономических знаний, он используется в экономической теории, народно-хозяйственном прогнозировании и статистике. Экономический анализ деятельности организаций обособился и занимает самостоятельное место в системе экономических наук и учебных дисциплин. Главное его обеспечение составляют системный бухгалтерский учет и бухгалтерская (финансовая) отчетность. Несмотря на ...

Предмет, содержание и задачи экономического анализа

Скачать

74474

9

6

... , международной политике и законодательству. 10. Анализ должен быть эффективным, т.е. затраты на его проведение должны давать многократный эффект. 4. ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ОВД Содержание, цели и задачи экономико-финансового анализа, проводимого органами внутренних дел В рыночных условиях проведения социально-экономических реформ в деятельности органов внутренних дел по ...