Экстремум функции

7.3 Экстремум функции

Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при x₁< x₂ выполняется неравенство f(x₁) < f (x₂) (f(x₁) > f(x₂)).

Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке [a, b] возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f ¢(x) > 0 (f ¢(x) < 0).

Точка x_оназывается точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если существует окрестность точки x_о, для всех точек которой верно неравенство f(x) £ f(x_о) (f(x) ³ f(x_о)).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - ее экстремумами.

Необходимые условия экстремума. Если точка x_о является точкой экстремума функции f(x), то либо f ¢(x_о) = 0, либо f ¢(x_о) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.

Первое достаточное условие. Пусть x_о - критическая точка. Если f ¢ (x) при переходе через точку x_о меняет знак плюс на минус, то в точке x_о функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x_о экстремума нет.

Второе достаточное условие. Пусть функция f(x) имеет производную f ¢ (x) в окрестности точки x_ои вторую производную  в самой точке x_о. Если f ¢(x_о) = 0, >0 (<0), то точка x_оявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

На отрезке [a,b] функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [a,b].

Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) = 2x³ - 15x²+ 36x - 14.

Решение. Так как f ¢ (x) = 6x² - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), то критические точки функции x₁ = 2 и x₂ = 3. Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку x₁ = 2 производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку x₂ = 3 производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке x₂ = 3 у функции минимум. Вычислив значения функции в точках x₁ = 2 и x₂ = 3, найдем экстремумы функции: максимум f(2) = 14 и минимум f(3) = 13.

Пример 3.23. Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется a погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?

Решение. Обозначим стороны площадки через x и y. Площадь площадки равна S = xy. Пусть y - это длина стороны, примыкающей к стене. Тогда по условию должно выполняться равенство 2x + y = a. Поэтому y = a - 2x и S = x(a - 2x), где 0 £ x £ a/2 (длина и ширина площадки не могут быть отрицательными). S ¢ = a - 4x, a - 4x = 0 при x = a/4, откуда y = a - 2×a/4 =a/2. Поскольку x = a/4 - единственная критическая точка, проверим, меняется ли знак производной при переходе через эту точку. При x < a/4 S ¢ >0, а при x >a/4 S ¢ <0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a² /8 (кв. ед).

Поскольку S непрерывна на [0, a/2] и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Пример 3.24. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместимостью V=16p » 50 м³. Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

Решение. Площадь полной поверхности цилиндра равна S = 2pR(R+Н). Мы знаем объем цилиндра V = pR²Н Þ Н = V/pR² =16p/pR² = 16/R². Значит, S(R) = 2p(R²+16/R). Находим производную этой функции: S ¢(R) = 2p(2R- 16/R²) = 4p (R- 8/R²). S ¢(R) = 0 при R³ = 8, следовательно, R = 2, Н = 16/4 = 4.

7.4 Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя

1. Неопределенность вида 0/0. Первое правило Лопиталя.

Если = 0, то , когда последний существует.

Похожие работы

Методы линейного программирования для решения транспортной задачи

Скачать

43574

0

9

... метод потенциалов. Однако на распределительном методе основаны некоторые другие способы решения задач, что и вызывает необходимость его изучения. [5] 9. Метод потенциалов Решение транспортной задачи любым способом производится на макете. Макет для применения метода потенциалов имеет следующий вид. Основная часть макета выделена двойными линиями. Она содержит k×l клеток. Каждая ...

Инновационные игры в подготоке менеджеров

Скачать

132492

10

0

... признакам следует выделить два основных вида игр, несущих наибольшую образовательную нагрузку, так как все остальные являются производными от них. Этими видами являются инновационные игры и ансамблевые игры. Имитационные или ролевые игры позволяют обучать персонал практически с нуля, в то время как два предыдущих вида больше связаны с развивающим обучением. Назначение деловых игр   Деловая ...

Карьера менеджера

Скачать

886960

0

0

... из остальных факторов мало что удастся сделать. Когда я поступил в корпорацию "Крайслер", то взял с собой мои записные книжки из компании "Форд", в которых была отражена служебная карьера нескольких сот фордовских менеджеров. После увольнения я набросал подробный перечень того, что не хотел оставлять в кабинете. Эти записные книжки в черных переплетах, несомненно, принадлежали мне, но можно было ...

Билеты по Курсу физики для гуманитариев СПБГУАП

Скачать

193189

0

0

... . научн. картине мира, кот. дает естествознание. Необходимость применения естствено научных методов и законов в практической деят-ти гуманитарных специальностей и привело к постановке того курса, кот. мы будем изучать: Физика для гуманитариев. (38)    Связь между разделами естествознания. Слово естествознание представляет из себя сочетание 2х слов: естество (природа) и знание. В настоящее время ...