Линии на плоскости
Матрицы и определители
Определители
Ранг матрицы
Системы линейных уравнений
Метод Гаусса
Системы линейных уравнений общего вида
Использование систем линейных уравнений при решении экономических задач
Предел функции
Применение пределов в экономических расчетах
Производная
Предельный анализ в экономике. Эластичность функции
Экстремум функции
Неопределенность вида ¥/¥. Второе правило Лопиталя
Интегралы
Дифференциальные уравнения
Разностные уравнения
Навигация
Системы линейных уравнений
Высшая математика для менеджеров
149274
знака
13
таблиц
5
изображений
5. Системы линейных уравнений
5.1 Критерий совместности
Система линейных уравнений имеет вид:
a11 x1 + a12 x2 +... + a1n xn = b1,
a21 x1 + a22 x2 +... + a2n xn = b2, (5.1)
... ... ... ...
am1 x1 + am1 x2 +... + amn xn = bm.
Здесь аi j и bi (i = 
; j = 
) - заданные, а xj - неизвестные действительные числа. Используя понятие произведения матриц, можно переписать систему (5.1) в виде:
AX = B, (5.2)
где A = (аi j) - матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных системы (5.1), которая называется матрицей системы, X = (x1, x2,..., xn)T, B = (b1, b2,..., bm)T - векторы-столбцы, составленные соответственно из неизвестных xj и из свободных членов bi.
Упорядоченная совокупность n вещественных чисел (c1, c2,..., cn) называется решением системы (5.1), если в результате подстановки этих чисел вместо соответствующих переменных x1, x2,..., xn каждое уравнение системы обратится в арифметическое тождество; другими словами, если существует вектор C= (c1, c2,..., cn)T такой, что AC º B.
Система (5.1) называется совместной, или разрешимой, если она имеет по крайней мере одно решение. Система называется несовместной, или неразрешимой, если она не имеет решений.
Матрица
`A = 
,
образованная путем приписывания справа к матрице A столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы.
Вопрос о совместности системы (5.1) решается следующей теоремой.
Теорема Кронекера- Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранги матриц A и`A совпадают, т.е. r(A) = r(`A) = r.
Для множества М решений системы (5.1) имеются три возможности:
1) M = Æ (в этом случае система несовместна);
2) M состоит из одного элемента, т.е. система имеет единственное решение (в этом случае система называется определенной);
3) M состоит более чем из одного элемента (тогда система называется неопределенной). В третьем случае система (5.1) имеет бесчисленное множество решений.
Система имеет единственное решение только в том случае, когда r(A) = n. При этом число уравнений - не меньше числа неизвестных (m³n); если m>n, то m-n уравнений являются следствиями остальных. Если 0<r<n, то система является неопределенной.
Для решения произвольной системы линейных уравнений нужно уметь решать системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных, - так называемые системы крамеровского типа:
a11 x1 + a12 x2 +... + a1n xn = b1,
a21 x1 + a22 x2 +... + a2nxn= b2, (5.3)
... ... ... ... ... ...
an1 x1 + an1 x2 +... + ann xn = bn.
Системы (5.3) решаются одним из следующих способов: 1) методом Гаусса, или методом исключения неизвестных; 2) по формулам Крамера; 3) матричным методом.
Пример 2.12. Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна:
5x1 - x2 + 2x3 + x4 = 7,
2x1 + x2 + 4x3 - 2x4 = 1,
x1 - 3x2 - 6x3 + 5x4 = 0.
Решение. Выписываем расширенную матрицу системы:
`A = 
.
Вычислим ранг основной матрицы системы. Очевидно, что, например, минор второго порядка в левом верхнем углу 
= 7 ¹ 0; содержащие его миноры третьего порядка равны нулю:
M¢3 = 
= 0, M²3 = = 0.
Следовательно, ранг основной матрицы системы равен 2, т.е. r(A)=2. Для вычисления ранга расширенной матрицы `A рассмотрим окаймляющий минор
= 
= -35 ¹ 0,
значит, ранг расширенной матрицы r(`A) = 3. Поскольку r(A) ¹ r(`A), то система несовместна.
Похожие работы
... метод потенциалов. Однако на распределительном методе основаны некоторые другие способы решения задач, что и вызывает необходимость его изучения. [5] 9. Метод потенциалов Решение транспортной задачи любым способом производится на макете. Макет для применения метода потенциалов имеет следующий вид. Основная часть макета выделена двойными линиями. Она содержит k×l клеток. Каждая ...
... признакам следует выделить два основных вида игр, несущих наибольшую образовательную нагрузку, так как все остальные являются производными от них. Этими видами являются инновационные игры и ансамблевые игры. Имитационные или ролевые игры позволяют обучать персонал практически с нуля, в то время как два предыдущих вида больше связаны с развивающим обучением. Назначение деловых игр Деловая ...
... из остальных факторов мало что удастся сделать. Когда я поступил в корпорацию "Крайслер", то взял с собой мои записные книжки из компании "Форд", в которых была отражена служебная карьера нескольких сот фордовских менеджеров. После увольнения я набросал подробный перечень того, что не хотел оставлять в кабинете. Эти записные книжки в черных переплетах, несомненно, принадлежали мне, но можно было ...
... . научн. картине мира, кот. дает естествознание. Необходимость применения естствено научных методов и законов в практической деят-ти гуманитарных специальностей и привело к постановке того курса, кот. мы будем изучать: Физика для гуманитариев. (38) Связь между разделами естествознания. Слово естествознание представляет из себя сочетание 2х слов: естество (природа) и знание. В настоящее время ...
0 комментариев