Факторіальні кільця та їх застосування

Курсова робота на тему:

«Факторіальні кільця та їх застосування»

Вступ

Завдання алгебри є вивчення алгебраїчних структур. Безперечно, алгебра вивчає далеко не всі алгебраїчні структури. Можна побудувати чимало прикладів алгебраїчних структур, але в переважній більшості вони не матимуть ніяких застосувань ні в теорії, ні в практиці, а «теорія» таких структур складатиметься з означень і тривіальних наслідків з них. Такі структури, очевидно, не можуть бути об'єктом вивчення.

У процесі розвитку математики виділилася й стала докладно вивчатися невелика кількість основних типів алгебраїчних структур, алгебраїчні операції в яких за своїми властивостями більш-менш близькі до операцій додавання і множення чисел. Найважливішими серед різних алгебраїчних структур є група, кільце, поле, лінійний простір, лінійна алгебра. Вивчення властивостей саме цих алгебраїчних структур, опис їх будови і зв'язків між ними й іншими основними математичними об'єктами є одним з найважливіших завдань алгебри на сучасному етапі її розвитку.

У цій роботі буде детально розглянуто властивості та особливості таких алгебраїчних структур, як кільця. А саме, розглядатимуться кільця, які є факторіальними, тобто кільця, що є областю цілісності і будь-який їхній елемент, відмінний від нуля і дільників одиниці, однозначно (з точністю до дільників одиниці і порядку множників) розкладається на добуток простих множників. Зокрема будуть досліджуватись кільця головних ідеалів, евклідові кільця, кільця многочленів від однієї та від кількох змінних.

Кожний розділ теоретичного матеріалу супроводжується задачами, в розв’язанні яких підтверджуються на практиці теореми та властивості, які були доведені в теоретичній частині, та розглядаються окремі конкретні випадки, які допомагають краще зрозуміти той чи інший нюанс тієї чи іншої теми зокрема та теорії кілець в цілому.

1. Кільця: означення та приклади

Означення Непорожня множина K на якій визначено дві бінарні алгебраїчні операції «+» і «·» називається кільцем, якщо виконуються умови:

1.  "a, b [a+b=b+a];

2.  "a, b, c [(a+b)+c=a+(b+c)];

3.  $θ,"a [a+θ=a];

4.  "a $ã [a+ã=θ];

5.  "a, b, c [(ab) c=a(bc)];

6.  "a, b, c [(a+b) c=ac+bc];

7.  "a, b, c [c (a+c)=ca+cb];

Якщо операція множення комутативна, то кільце комутативне. Перші чотири аксіоми означають, що відносно операції додавання кільце утворює адитивну абелеву групу.

Приклади кілець, що наводяться нижче свідчать про те, що система аксіом кільця несуперечлива.

№1 Множина цілих чисел Z є комутативне кільце відносно визначених у ній операцій додавання і множення. Справді, множина Z є абелева група по додаванню, операція множення чисел, як відомо, асоціативна, комутативна і дистрибутивна відносно операції додавання.

№2 Множина парних чисел є комутативне кільце відносно операцій додавання і множення чисел. Справді, ця множина є абельова група по додаванню, в ній визначена операція множення: добуток парних чисел є парне число, причому операція множення асоціативна, комутативна і дистрибутивна відносно операції додавання.

№3 Множина R всіх дійсних чисел, очевидно також є кільце відносно визначених у ній операцій додавання і множення.

№4 Множина K всіх чисел виду , де a і b – будь-які раціональні числа, є комутативне кільце відносно визначених у ній операцій додавання і множення. Справді, які б ми не взяли числа a₁+b₁ і a₂+b₂ з множини K, їх сума (a₁+b₁)+(a₂+b₂)=(a₁+a₂)+(b₁+b₂), добуток (a₁+b₁) (a₂+b₂)= =(a₁a₂+2b₁b₂)+(a₁b₂+b₁a₂) і різниця (a₁+b₁) – (a₂+b₂)=(a₁–a₂)+(b₁–b₂) є числа виду , тобто належать до множини K. Отже в множині K визначені операції додавання та множення і здійсненна обернена додаванню операція віднімання. Оскільки операції додавання і множення дійсних чисел асоціативні й комутативні, а елементи множини K є дійсні числа, то операції додавання і множення елементів множини K також асоціативні й комутативні. З цієї ж причини в множині K операція множення дистрибутивна відносно операції додавання. Отже, множина є комутативне кільце.

До цього кільця належать, зокрема, всі раціональні числа (при b=0), а також число (при а=0, b=1). В цьому прикладі замість числа  можна було взяти і інші.

№5 Множина, що складається з одного числа 0, очевидно, є кільце. Це кільце називають нульовим.

Означення Підмножина K´ кільця K називається його підкільцем, якщо вона сама утворює кільце відносно визначених в K операцій.

Теорема (критерій підкільця) K´ – підкільце кільця K тоді і тільки тоді, коли K´ÌK і "a, b [a, bÎK´Þ(a±b)ÎK´ÙabÎK´].

Означення Характеристикою кільця K з одиницею називають найменше натуральне число n, для якого справджується рівність

ne=0

Якщо це можливо лише коли n=0, то говорять, що кільце K має нульову характеристику.

Зрозуміло, що всі числові кільця мають нульову характеристику.

Наведемо приклад кільця, яке має ненульову характеристику:

Z₄={}, 4·=, n=4.

Теорема Якщо кільце K має характеристику n, то для будь–якого aÎK справджується рівність na=0.

Доведення

ne=0 за умовою

na=n(ea)=(ne) a=0a=0.

Доведено.

Означення Комутативне кільце з одиницею e, в якому немає дільників нуля називається областю цілісності.

 

Задачі

№1

На множині R задані операції:

aÅb=a+b+1,

aÄb=a+b+ab,

де +, звичайні арифметичні операції. Довести, що алгебра (R,Å,Ä), буде областю цілісності.

Доведення.

Властивості кільця перевіряються безпосередньою перевіркою. Перевіримо дистрибутивність

(aÅb)Äc=aÄcÅaÄb.

Нехай A=(aÅb)Äc, B=aÄcÅaÄb, тоді

A=(aÅb)Äc=(a+b+1)Äc=a+b+1+c+ac+ab+c=a+b+2c+ac+bc+1,

B=aÄcÅaÄb=(a+c+ac)+(b+c+bc)=a+c+ac+b+c+bc+1=a+b+2c+ac+bc+1,

Отже, A=B.

Перевіримо існування нульового елемента

aÅq=a,

a+q+1=a,

q=–1 – нульовий елемент.

Перевіримо існування симетричного елемента

aÅã=q,

a+ã+1=–1,

ã=–2-a – протилежний елемент.

Отже, алгебра (R,Å,Ä) буде комутативним кільцем. Тепер з’ясуємо наявність одиниці.

aÄe=a

a+e+ae=a,

e (1+a)=0,

e=0 – одиничний елемент.

З’ясуємо чи існують дільники 0.

aÄb=–1, a≠–1, b≠–1,

a+b+ab=–1,

a+1+b (a+1)=0,

(a+1) (1+b)=0.

Оскільки a≠–1, b≠–1 і a, bÎR, то дільників нуля немає.

Це означає, що K – область цілісності.

Доведено.

№2

Довести, що множина Z[] усіх чисел виду a+b, де a і b – цілі числа, є кільцем відносно звичайних операцій додавання і множення.

Доведення.

Застосуємо прийом, який дає змогу скоротити процес доведення. Якщо треба довести, що деяка непорожня множина K₁ є кільцем, то її поміщають (якщо це можливо) в якесь відоме кільце K. Тоді треба лише довести, що K₁ є підкільце кільця K, звідки випливає, що K₁ – кільце.

Оскільки Z[] є підмножиною, наприклад, кільця всіх дійсних чисел R, то доведемо, що Z[] – підкільце кільця R. Застосуємо критерій підкільця.Насамперед, покажемо, що Z[]≠Ø. Це справді так, бо, наприклад, 0=0+0ÎZ[]. Нехай тепер t=a+b, s=c+d, де a, b, c, d ÎZ, t, s ÎZ[].

Покажемо, що (t+s)ÎZ[], (t–s)ÎZ[], tsÎZ[].

Справді, t±s=(a+b)±(c+d)=(a±c)+(b±d)ÎZ[], оскільки (a±с)ÎZ, (b±d)ÎZ. Аналогічно для добутку дістанемо ts=(a+b)±(c+d)=(ac+3bd)+(ad+bc)ÎZ[], оскільки для цілих чисел a, b, c, d, 3 маємо ac, 3bd, ad, bcÎZ.

Отже, Z[] – підкільце кільця дійсних чисел R, а тому Z[] – кільце.

Доведено.

2. Ідеали кільця

2.1 Поняття ідеалу

В теорії подільності цілих чисел, а також в загальній теорії подільності в кільцях, важливу роль відіграє теорема про можливість і однозначність розкладу елемента (числа) в добуток простих множників. Виявляється в деяких кільцях розклад елемента на добуток простих множників не однозначний.

Наприклад, 60=2·30=6·10, а 2, 6, 30, 10 – прості елементи в Z₂

Один і той же елемент в різних кільцях може бути простим і складеним.

Наприклад, 17 в Z[i] – складене 17=(4-i) (4+i).

Щоб з’ясувати, в яких кільцях справджується загальна теорема про існування і єдиність розкладу елемента в добуток простих множників, треба узагальнити поняття подільності елементів, що робиться за допомогою ідеалу.

Означення Непорожня множина I кільця K називається його ідеалом, якщо вона замкнена відносно віднімання і множення на довільний елемент кільця.

Переконаємося, що ідеал І замкнений відносно операції додавання. Справді із замкнутості відносно операції віднімання випливає, що 0ÎА (а–а=0), – еÎІ і поряд з кожним bÎI I'(–b) – b=–eb. Тому з кожним елементом a–b містить a – (–b)=a+b. (a+b)ÎI.

Звідси випливає, що ідеал І кільця К є його підкільцем. Проте не всяке підкільце кільця буде його ідеалом.

Розглянемо деякі приклади:

№1 К–ідеал самого себе. Цей ідеал називається одиничним. Позначається І_е.

№2 Кожне кільце містить підкільце {0}, яке теж буде ідеалом кільця К. Цей ідеал називається нульовим. Позначається І₀.

І_е та І₀ – тривіальні ідеали. В розумінні відношення включення І_е – найбільший, а І₀ – найменший серед усіх ідеалів кільця.

Означення Ідеал І кільця К називається головним, якщо він складається з усіх елементів ка кільця К, аÎК, кÎК. Говорять, що він породжений елементом а. Позначають (а).

Наприклад, ідеал Z₂ кільця Z буде головним, він породжений елементом 2 або –2.