Навигация
Факторіальність кільця головних ідеалів
55242
знака
0
таблиц
0
изображений
3.1.3 Факторіальність кільця головних ідеалів
Нашою метою являється узагальнення на кільці головних ідеалів теореми про існування й одиничність розкладу елементів кільця цілих чисел Z на прості множники.
Означення Говорять, що елемент а області цілісності K має однозначний розклад на прості множники, якщо виконуються умови:
(1) існують у K такі прості елементи рi, що
;
(2) якщо 
- інший розклад, у якому qi – прості елементи K, то m=n і при відповідній нумерації рi ~ qi для i=1,…, m.
Означення Кільце називається факторіальним, якщо воно є областю цілісності і всякий відмінний від нуля необоротний елемент кільця має однозначний розклад на прості множники.
Відзначимо, що будь-яке поле є факторіальним кільцем, тому що не має відмінних від нуля необоротних елементів.
Теорема Кільце головних ідеалів факторіальне.
Доведення.
Нехай K – кільце головних ідеалів. Нам треба довести, що усякий відмінний від нуля необоротний елемент кільця має розкладання на прості множники. Припустимо, що існує в K необоротний ненульовий елемент а, що нерозкладний на прості множники в Ж. Тоді елемент а є складеним. Отже, його можна подати у вигляді добутку двох власних дільників а=аibi і (a)
(ai)
Принаймні один із множників аi, bi, наприклад a1, не має розкладу на прості множники. Отже, a1 можна подати у вигляді добутку двох власних множників:
a1=a2b2, (a1)=(a2)
і т.д. Таким чином, існує нескінченний зростаючий ланцюжок
(a)Ì(a1)Ì(a2)Ì…
ідеалів кільця K, що неможливо, бо за твердженням зростаючий ланцюжок не може бути нескінченним. Отже, усякий необоротний відмінний від нуля елемент кільця K має розклад на прості множники.
Доведемо однозначність розкладу на прості множники. Якщо a – простий елемент, то теорема вірна. Припустимо, що теорема вірна для елементів, представлених у вигляді добутку n простих множників, і доведемо, що тоді вона вірна для елементів, представлених у вигляді добутку n+1 простих множників. Нехай дані будь-які два розклади елемента a на прості множники:
a=p1…pnpn+1=q1…qsqs+1 (1)
Простий елемент рn+1 ділить добуток q1…qsqs+1. Отже, він ділить хоча б один із множників q1…qsqs+1, наприклад qs+1. Так як рn+1 і qs+1 – прості, тo qs+1=upn+1, де u – оборотний елемент кільця. Скорочуючи обидві частини рівності (1) на рn+1, маємо
p1…pn=q1… (uqs).
Отже, по індуктивному припущенню, n=s і при відповідній нумерації рi ~ qi для i=1,…, n. Крім того, рn+1 ~ пn+1.
Доведено.
Задачі
№1
Довести, що число 4 в кільці Z[
] неоднозначно розкладається в добуток простих множників.
Доведення.
Знайдемо спочатку дільники одиниці в Z[]. Нехай a+b, c+d – дільники одиниці, a, b, c, d ÎZ. Тоді
(a+b) (c+d)=1.
Знайдемо норму обох частин цієї рівності:
Nr (a+b)=(a2+3b2).
Маємо
(a2+3b2) (c2+3d2)=1. (1)
Рівність (1) виконується, якщо
a2+3b2=c2+3d2=1. (2)
Рівність (2), в свою чергу, виконується при a=±1, b=0, c=±1, d=0. Отже, в кільці Z[] лише 2 дільники одиниці: 1, –1.
Доведемо, що для числа 4 в кільці Z[] є два різних розклади в добуток простих множників:
4=2·2=(1+) (1–).
Для цього покажемо, що 2, 1+, 1– є прості числа в Z[], а пари чисел 2, 1+ та 2, 1– не є асоційованими.
Оскільки в кільці Z[] асоційовані числа відрізняються лише знаком, то покажемо, що 2, 1+, 1– є прості числа в Z[].
Якщо 2=(a+b) (c+d), то знайшовши норми від обох частин, дістанемо 4= (a2+3b2) (c2+3d2).
Число 4 розкладається в добуток натуральних чисел двома способами:
4=2·2=1·4.
Якщо a2+3b2=2, то b2<1, тобто b=0. Тоді a2=2, що неможливо для цілого числа a. Отже, a2+3b2=1 або a2+3b2=4. Якщо a2+3b2=1, то a+b– дільник одиниці. Якщо a2+3b2=4, то c2+3d2=1 і c+d– дільник одиниці.
Отже, 2 є просте число в кільці Z[]. Оскільки Nr (1±)=4, то аналогічно доводять, що числа 1± є простими.
Отже, число 4 в кільці Z[] розкладається на прості множники двома різними способами.
Доведено.
Похожие работы
... час; організація взаємодії і всебічного забезпечення дій; готовність засобів управління підрозділами. Командири підрозділів військ РХБ захисту зобов’язані своєчасно доповідати старшому командиру про отримане завдання, прийнятому рішенні, результатів застосування противником ЗМУ, виконанні завдання, нових відомостях про противника, радіаційній, хімічній та біологічній (бактеріологічній) обстановц ...
... чим вихідний полімерний матеріал) створюють дратівну дію, їхня присутність у зоні імплантації буде підтримувати вогнище хронічного асептичного запалення. Говорячи про вимоги, висунуті до полімерів медичного призначення, звичайно згадують і необхідність відсутності в них канцерогенної, мутагенної й іншої токсичної дій, хоча зараз ще не ясно, які саме властивості синтетичних полімерів визначають ці ...
... спектру дії Наявність загального родоспецифічного антигена. Все це визначає самостійне положення цих мікроорганізмів серед прокаріот [5]. 3. Характеристика будови та морфології представників роду Chlamydia 3.1 Морфологічні особливості Хламідії є групою прокаріотних мікроорганізмів і мають вид дрібних грамнегативних коків. Добре видні в не зафарбованому стані при мікроскопії ...
... заходів і здійснюється на засадах гласності і суворого додержання вимог законодавства, охорони прав громадян, підприємств та організацій[58][247]. Нарешті зазначимо, що значення адміністративного примусу в правоохоронній діяльності міліції в концентрованому вигляді виявляється в його призначенні та меті. Цей примус слід розглядати як один з найважливіших засобів здійснення державної влади, що ...
0 комментариев