Кільце головних ідеалів

3.1.2 Кільце головних ідеалів

Перейдемо тепер до вивчення кілець головних ідеалів.

Означення. Кільцем головних ідеалів називається область цілісності з одиницею, в якій кожен ідеал є головний.

Найпростішим прикладом кілець головних ідеалів є кільце цілих чисел Z: кільце Z, як відомо, є область цілісності з 1 і, за теоремою, кожен його ідеал головний.

Кожне поле Р є кільце головних ідеалів. Справді, поле Р є областю цілісності з одиницею; якщо U є ненульовий ідеал поля Р, то разом з будь-яким своїм елементом а ≠ 0 він містить і елемент аa^-1 = 1 і, отже, U = (1). Кільцем головних ідеалів є також кільце многочленів від змінної х з коефіцієнтами з поля Р.

Звичайно, не кожна область цілісності з одиницею є кільцем головних ідеалів. Нижче ми наведемо приклади таких областей цілісності. А тепер займемося вивченням властивостей кілець головних ідеалів. Всюди далі вважатимемо, що R – кільце головних ідеалів.

Теорема 1. Будь-які два елементи а і b кільця головних ідеалів R мають найбільший спільний дільник d, причому d= rа + sb, де r і s – деякі елементи кільця R.

Доведення.

Якщо один з елементів а і b дорівнює нулю, то справедливість теореми очевидна. Нехай а і b – будь-які відмінні від нуля елементи кільця R. Вони породжують ідеал (а, b), який складається з усіх елементів вигляду ха + уb, де х і у – будь-які елементи кільця R. Оскільки R – кільце головних ідеалів, то ідеал (а, b) є головний, тобто породжується деяким елементом dÎR: (а, b) = (d).

Тому

d = rа + sb (r, sÎR), (2)

а = gd, b = hd (g, hÎR). (3)

З рівностей (3) випливає, що d є спільний дільник елементів а і b;

з рівності ж (2) випливає, що d ділиться на будь-який спільний дільник елементів а і b. Отже, а = (а, b).

Доведено.

Спираючись на теорему 1, доведемо твердження, яке є критерієм взаємної простоти двох елементів кільця головних ідеалів.

Теорема 2. Елементи а і b кільця головних ідеалів R взаємно прості тоді і тільки тоді, коли в кільці R є такі елементи r і s, що rа +sb = 1.

Доведення.

Необхідність умови очевидна: якщо а і b – взаємно прості, тобто (а, b) = 1, то, за теоремою 1, в кільці R існують такі елементи r і s, що rа + sb = 1. Доведемо достатність умови. Припустимо, що в кільці R існують такі елементи r і s, що rа + sb = 1.

З цієї рівності випливає, що спільними дільниками елементів а і b можуть бути лише дільники одиниці і, отже, елементи а і b взаємно прості.

Доведено.

Теорема 3. Якщо елемент аÎR взаємно простий з кожним із елементів bÎR і сÎК, то він взаємно простий і з добутком цих елементів.

Доведення.

Оскільки а і b – взаємно прості, то, за теоремою 2, існують такі r, sÎR, що

rа + sb = 1.

Помноживши цю рівність на с, дістаємо: а (rc) + (bс) s = с. З цієї рівності випливає, що кожен спільний дільник елементів а і bс буде дільником і елемента с. Але за умовою теореми спільними дільниками елементів а і с є лише дільники одиниці, тому і спільними дільниками a і bс будуть лише дільники одиниці й, отже, а і bс взаємно прості.

Теорема 4. Якщо добуток елементів aÎR і bÎR ділиться на елемент с ÎR, але а і с взаємно прості, то b ділиться на с.

Доведення.

Оскільки а і с – взаємно прості, то в кільці R існують такі r і s, що

rа + sc = 1.

Помноживши цю рівність на b, дістаємо:

(аb) r+с (bs) = b.

Обидва доданки лівої частини останньої рівності діляться на с, а тому і права її частина b ділиться на с.

Теорема 5. Якщо елемент а ÎR ділиться на кожен з елементів bÎR і сÎR, які між собою взаємно прості, то а ділиться і на добуток bс.

Доведення.

Справді, за умовою теореми, а.^: b, тобто а = bg. Оскільки а M с, то bgM с. Але b і с взаємно прості, тому, за теоремою 4, g: с, тобто g=cq.

Отже, а == (bс) q, тобто аMbс.

Доведено.

Теорема 6. Якщо R – кільце головних ідеалів і р – простий елемент цього кільця, то фактор-кільце R/(р) є поле.

Доведення.

Одиничний елемент  = 1 + (р) кільця R/(р) відмінний від  = (р). Справді, якби = , то елемент 1 містився б в ідеалі (р) і тому р/1. Але елемент р не може бути дільником одиниці, оскільки він нерозкладний. Отже, в кільці R/(р) є принаймні один відмінний від нуля елемент.

Покажемо, що в кільці R/(р) здійсненна операція ділення, крім_ділення на нуль, тобто що для будь-яких елементів  = a + (р) ≠ 0 і = + (р) кільця R/(р) рівняння •  =  має в цьому кільці розв'язок. Справді, оскільки ≠, то а не ділиться на р. Отже, за другою властивістю нерозкладних елементів, елементи а і р – взаємно прості, тобто (а, р) = 1. Тому, за теоремою 2, в кільці R існують такі елементи r і s, що аr + рs = 1. Звідси

аrb + рsb =b, аrb º b (тоd p),

і, отже, • = . Таким чином, = є розв'язком рівняння =.

Доведено.

Наслідок. Якщо добуток кількох елементів кільця головних ідеалів R ділиться на простий елемент рÎR, то принаймні один із співмножників ділиться на р.

Доведення.

Припустимо, що добуток a₁ • а₂ •… • a_s (a_iÎR) ділиться на нерозкладний елемент р ÎR, тобто що a₁а_2… а_s Î (р).

Розглянемо елементи a_i = а_i+(р) (і =1, 2,…. s) і = a₁ a₂ …a_s+(р). За означенням операції множення в кільці R/(р) = Оскільки a₁ a₂ …a_sÎ(р), то = і, отже, =  Звідси, оскільки, за теоремою 6, R/(р) є поле, випливає, що для деякого m (1 < т < s) =. Але =означає, що a_mÎ(p), тобто що a_m M р.

Цим справедливість наслідку доведено.

Нашою метою буде тепер доведення твердження про можливість розкладу кожного елемента кільця головних ідеалів у добуток простих (нерозкладних) множників. Воно ґрунтується на такій лемі.

Лема. В кільці головних ідеалів R не існує нескінченної строго зростаючої послідовності ідеалів

U₀ Ì U₁ Ì U₂ Ì…ÌU_N Ì …. (4)

Доведення.

Припустимо, що нескінченна строго зростаюча послідовність (4) існує. Позначимо символом b об'єднання всіх ідеалів послідовності (4). Множина b є ідеал кільця R. Справді, якщо aєb і bєb, то а є елемент деякого ідеалу U_s, і b – деякого ідеалу U_l. Тому а і b є елементи ідеалу U_m, де m – більший з індексів s і l. Отже, (а + b)є U_mÌb, (а – b)єU_mÌb і для будь-якого rєR arєU_mÌb. Оскільки R – кільце головних ідеалів, то ідеал b головний. Нехай b= (b). Елемент b, як елемент об'єднання ідеалів послідовності (4), належить до деякого ідеалу U_k, а отже, і до кожного ідеалу U_i, при і ≥k

Тому (b) = U_k=U_k+1 = U_k+2 =…. А це суперечить нашому припущенню.

Доведено.

Теорема 7. В кільці головних ідеалів R кожен відмінний від нуля елемент, що не е дільником одиниці, розкладається в добуток простих множників.

Доведення.

Для кожного простого елемента кільця R теорема справедлива: для простого елемента добуток, про який говориться в теоремі, складається з одного множника. Припустимо, що в кільці R є відмінний від нуля елемент а, який не можна розкласти в добуток простих множників. Елемент а не простий і, отже, а = a₁a₂, де a₁ і a₂ – нетривіальні дільники елемента а.

Принаймні один з елементів a₁ і a₂ не можна розкласти в добуток простих множників, бо в противному разі і елемент а розкладався б у добуток простих множників. Не втрачаючи загальності міркувань, припустимо, що a₁ не можна розкласти в добуток простих множників. Тоді a₁=a₁₁a_12, де a₁₁ та a₁₂–нетривіальні дільники. Принаймні один з елементів a₁₁ та a₁₂ також не можна розкласти в добуток простих множників. Нехай цим елементом є a₁₁. Для елемента a₁₁ міркування повторимо і т.д. Цей процес послідовного розкладу, очевидно, не може обірватися. Таким чином, ми дістанемо нескінченну послідовність елементів

а, a₁, a₁₁, a₁₁₁,…, (5)

у якій кожен наступний член є власним дільником попереднього.

Якщо a_i+1 є власним дільником a_i, то (a_i+1)Ì(a_i), оскільки a_i=a_i+1r, де r – деякий елемент R. Тому головні ідеали, породжені елементами послідовності (5), утворюють нескінченну строго зростаючу послідовність ідеалів

(а)Ì(a₁)Ì(a₁₁)Ì(a₁₁₁)Ì…,

а це суперечить доведеній вище лемі. Отже, наше припущення неправильне.

Доведено.

Покажемо тепер, що розклад, про який іде мова в теоремі 7, однозначний з точністю до порядку співмножників і до дільників одиниці.

Теорема 8. Якщо

a =p₁p₂…p_r =q₁q₂…q_s

є два розклади елемента а кільця головних ідеалів R в добуток простих множників, то r=s і, при відповідній нумерації співмножників, справджуються рівності q_i=ε_i p_i (і == 1, 2,…, r), де ε_i – деякий дільник одиниці кільця R.

Доведення.

Доводитимемо індукцією по r. При r = І справедливість твердження очевидна.

Справді, оскільки елемент а = р₁ простий, то добуток q₁q₂…q_s

може містити лише один множник q₁₌p₁.

Припустимо, що теорема правильна для r – 1 (2 £ r), і доведемо, що в такому разі теорема справедлива й для r. Справді, оскільки

a =p₁p₂…p_r і a = q₁q₂…q_s то

p₁p₂…p_r =q₁q₂…q_s (6)

З рівності (6) випливає, що q₁q₂…q_s ділиться на p₁. Тому, за наслідком з теореми 6, принаймні один із співмножників q_1,q_2,…, q_s ділиться на p_i. Ми вважатимемо, що на p₁ ділиться множник q₁: цього завжди можна досягти зміною нумерації множників q_1,q_2,…, q_s. Оскільки q₁ – простий елемент і ділиться на простий елемент p₁, то q₁=e₁p₁, де e₁ – деякий дільник одиниці кільця R. Підставивши в рівність (6) e₁p₁ замість q₁ і скоротивши обидві частини одержаної рівності на р₁, дістанемо:

p₂p₃…p_r =(e₁q₂) q₃…q_s.

Але, за індуктивним припущенням, r– 1 == s– 1 і при відповідній нумерації множників q_1,q_2,…, q_r:

q₂=e₁q₂=e₂p_2, q₃=e₃p₃, …, q_r=e_rp_r,

де e_i – деякі дільники одиниці кільця R. Тому r = s і при відповідній нумерації множників q₁, q₂, …, q_r:

q₁=e₁p₁, q₂=e₁^–1e₂p₂ =e₂p_2, q₃=e₃p₃, …, q_r=e_rp_r

Доведено.

Зауважимо, що теореми 7 і 8 справедливі, зокрема, для кільця цілих чисел, яке є кільцем головних ідеалів.

Постає запитання: чи не можна теореми 7 і 8 поширити на клас областей цілісності більш широкий, ніж кільце головних ідеалів? Відповідь на це запитання в загальному випадку негативна. Є області цілісності, в яких не справджується теорема про розклад елементів області цілісності в добутки простих множників, а також області цілісності, в яких розклад елементів на прості множники хоч і можливий, але не однозначний. Наведемо приклади таких областей цілісності, не вивчаючи її докладно.

Нехай К – множина всіх дійсних чисел виду

де n – будь-яке натуральне число, a_1,a_2,…, a_n – будь-які цілі числа й r₁, r₂,…, r_n – будь-які числа виду  (m, k – цілі невід'ємні числа). Сума, різниця й добуток чисел такого виду – числа такого самого виду. Отже, К – кільце. При п = 1 і r₁=0 дістанемо с = а₁; тому К містить усі цілі числа, зокрема 1. Легко бачити, що кільце К є область цілісності. У цій області цілісності число 2 розкладається на множники так:

Можна довести, що числа виду , де k – ціле невід'ємне число, не є дільниками одиниці в кільці К. Таким чином, число 2 не можна розкласти на прості множники в кільці К.

Нехай тепер Q – множина всіх комплексних чисел виду , де а і b – будь-які цілі числа. Сума, різниця й добуток чисел такого виду є, очевидно, числа такого самого виду. Отже, Q – кільце. При b = 0, z = а, а тому в Q містяться всі цілі числа. Отже, кільце Q є область цілісності. Можна довести, що в цій області цілісності кожне число розкладається на прості множники. Проте не можна стверджувати, що для цього кільця характерна однозначність розкладу на прості множники. Для числа 6, наприклад, у цьому кільці

існують такі два розклади: 6=2·3 і 6 = () ().

Поряд з цим існують області цілісності, які не є кільцями головних ідеалів, проте в них справджуються теореми 7 і 8.

Похожие работы

Основи бойового застосування військ РХБ захисту

Скачать

218154

19

0

... час; організація взаємодії і всебічного забезпечення дій; готовність засобів управління підрозділами. Командири підрозділів військ РХБ захисту зобов’язані своєчасно доповідати старшому командиру про отримане завдання, прийнятому рішенні, результатів застосування противником ЗМУ, виконанні завдання, нових відомостях про противника, радіаційній, хімічній та біологічній (бактеріологічній) обстановц ...

Полімери медичного призначення

Скачать

60239

0

1

... чим вихідний полімерний матеріал) створюють дратівну дію, їхня присутність у зоні імплантації буде підтримувати вогнище хронічного асептичного запалення. Говорячи про вимоги, висунуті до полімерів медичного призначення, звичайно згадують і необхідність відсутності в них канцерогенної, мутагенної й іншої токсичної дій, хоча зараз ще не ясно, які саме властивості синтетичних полімерів визначають ці ...

Хламідії. Будова та морфологічні особливості

Скачать

50224

3

7

... спектру дії  Наявність загального родоспецифічного антигена. Все це визначає самостійне положення цих мікроорганізмів серед прокаріот [5].   3. Характеристика будови та морфології представників роду Chlamydia   3.1 Морфологічні особливості Хламідії є групою прокаріотних мікроорганізмів і мають вид дрібних грамнегативних коків. Добре видні в не зафарбованому стані при мікроскопії ...

Адміністративний примус в правоохоронній діяльності міліції в Україні

Скачать

810571

0

0

... заходів і здійснюється на засадах гласності і суворого додержання вимог законодавства, охорони прав громадян, підприємств та організацій[58][247]. Нарешті зазначимо, що значення адміністративного примусу в правоохоронній діяльності міліції в концентрованому вигляді виявляється в його призначенні та меті. Цей примус слід розглядати як один з найважливіших засобів здійснення державної влади, що ...