Производная и ее применение для решения прикладных задач
Функция не является ни четной, ни нечетной
Определение периода функции
Разложение на множители и упрощение выражений
Решение неравенств
Решение уравнений
Вычисление пределов функции с помощью правила Лопиталя
Решение экономических задач
Задача о линеаризации функции
Навигация
Решение уравнений
Производная и ее применение для решения прикладных задач
27370
знаков
0
таблиц
5
изображений
3.11. Решение уравнений
Пример 1.
Решение
Переписав данное уравнение в виде
, заметим, что его корнями являются абсциссы точек пересечения или касания графиков функций 
и 
.
Для выяснения взаимного расположения графиков этих функций найдем их точки экстремумов.
Так как 
, то эта функция достигает своего наименьшего значения, ровно 1, в точке х=1. Область существования функции состоит из всех х таких, что 
. Так как
то 
при 
,
при 
,
при 
.
Так как функция 
непрерывна на 
, то отсюда заключаем, что функция 
возрастает на промежутке 
и убывает на промежутке 
. Следовательно, точка х=1 является наибольшим значением функции на ее области существования.
Таким образом, при любом 
,
.
Следовательно уравнение имеет один единственный корень х=1.
Взаимное расположение графиков показано на рисунке.
3.12 Решение систем уравнений
Пример 1.
Решить систему уравнений
Решение.
Перепишем данную систему в виде
Из первого уравнения этой системы следует, что ее решениями могут быть такие пары чисел (х,y), для каждого из которых y>0. Тогда эти пары чисел должны удовлетворять неравенству х>y>0, что следует из второго уравнения системы. Пусть 
тогда из первого уравнения системы находим, что 
Подставляя во втором уравнении системы 
вместо х и 
вместо y, получаем
или
Так как
то уравнение 
имеет не более одного корня. Нетрудно заметить, что число t=1 является корнем. Отсюда находим, что решением данной системы может быть только пара чисел х=2 и y=1.
3.13 Отбор кратных корней уравнения
Применение производной позволяет не только убедиться в существовании кратных корней (если они есть), но и дать способ отобрать все кратные корни, отделив их от простых корней. Имеет место следующее утверждение:
Наибольший общий делитель многочленов 
и 
имеет своими корнями лишь корни многочлена , причем только те из них, которые имеют кратность не меньше 2. Каждый их этих кратных корней многочлена является корнем наибольшего общего делителя кратности на единицу ниже. Простые корни многочлена не являются корнями наибольшего общего делителя многочленов и .
Отсюда вытекает следующее правило для нахождения кратных корней уравнения:
1. Находим .
2. Находим наибольший общий делитель многочленов и .
3. Находим корни наибольшего общего делителя многочленов и .
Каждый из найденных корней наибольшего общего делителя многочленов и является корнем многочлена , причем кратность этого корня на единицу больше его кратности в наибольшем общем делителе.
Отметим, что если наибольший общий делитель многочленов и есть константа, то уравнение =0 не имеет кратных корней.
Пример 1.
Решить уравнение
.
Решение.
Рассмотрим многочлен
производная которого равна
Найдем наибольший общий делитель многочленов и .
Имеем
Рис.1. - наибольший общий делитель многочленов
Таким образом, наибольший общий делитель многочленов и равен х-1 (с точностью до постоянного множителя).
Так как х=1 является простым корнем наибольшего общего делителя, что число х=1 будет двукратным корнем данного уравнения, и, значит, многочлен делится без остатка на 
Разделив на 
, находим, что 
Следовательно, корни исходного уравнения- это числа 
и х=6 и только они.
Похожие работы
... ^у^е^о ^ с^-^. Итак решение по Ритцу: ^-i-^ Сравнительная таблица имеет вид: Л. 0 0,5 1 1,5 2 у^ 0 -0,275 -0,3571 -0,2758 0 ^г) о -0,2126 -0,3520 -0,3258 0 50 3.6. Об одном подходе к решению нелинейных вариационных задач В отличии от метода Ритца, искомую функцию в двуточечной вариационной задаче зададим в виде: r-^^f^-^^ При этом граничные условия и{а ) = ...
... и менеджмента Санкт-Петербургского Государственного технического университета соответствовал поставленной цели. Его результаты позволили автору разработать оптимальную методику преподавания темы: «Использование электронных таблиц для финансовых и других расчетов». Выполненная Соловьевым Е.А. дипломная работа, в частности разработанная теоретическая часть и план-конспект урока представляет ...
... кадастра памятников России и привязки его к ГИС «Компас-2», я изучил возможности, функции ГИС «Компас-2», а также возможность использования его для создания различных видов природных кадастров. Компас-2 – это сетевая система для представления, моделирования и анализа географической информации Функциональные возможности системы КОМПАС 2: публикация географической информации (ГИ) в сетях ...
... задачи динамики, определять, при каких условиях осуществимо движение с заданными свойствами. С другой стороны, и само развитие теории управления движениями материальных систем вызвало необходимость решения обратных задач динамики в различных постановках. Все это привело к тому, что обратные задачи классической механики оказались своего рода направляющими и исходными задачами современной науки об ...
0 комментариев