Производная и ее применение для решения прикладных задач
Функция не является ни четной, ни нечетной
Определение периода функции
Разложение на множители и упрощение выражений
Решение неравенств
Решение уравнений
Вычисление пределов функции с помощью правила Лопиталя
Решение экономических задач
Задача о линеаризации функции
Навигация
Задача о линеаризации функции
Производная и ее применение для решения прикладных задач
27370
знаков
0
таблиц
5
изображений
3.18 Задача о линеаризации функции
По всей вероятности, исторически задача стояла так: «Написать уравнение касательной к графику функции 
в точке с абсциссой 
». Дело в том, что ученым (в частности вычислителям) надо было в случае довольно «громоздкой» зависимости между переменными заменить в окрестности некоторой точки эту зависимость более простой. А самой простой является линейная зависимость. Поэтому вместо сформулированной выше задачи выдвинулись требования: «Заменить данную функцию линейной функцией в окрестности точки ». Эта идея занимала Тейлора. В случае, если эта замена давала вычислителям большие погрешности, ставилась задача замены данной функции в окрестности точки квадратичной функцией, многочленом третьей степени, четвертой и т.д.- до тех пор, пока не получалась нужная точность вычислений. Эта идея имеет простой геометрический смысл: при замене данной функции линейной в окрестности точки рассматривается касательная 
, при замене квадратичной- соприкасающаяся парабола, при замене многочленом третьей степени- соприкасающаяся кубическая парабола и т.д.
Замена данной функции линейной получила название линеаризации. Поскольку не было явно сформулировано понятие предела (это уже IX век), то на основе интуиции бесконечно малые «более высоких порядков» просто отбрасывались.
Пример 1.
Замените данную функцию линейной вблизи нуля:
Решение.
Если 
, то 
так же стремятся к нулю, поэтому ими можно пренебречь, то есть отбросить. В результате получаем 
Пример 2.
Замените данную функцию линейной вблизи нуля:
Решение.
Отбрасываем в числителе и знаменателе х в степени выше первой:
Умножим числитель и знаменатель дроби на двучлен, сопряженный со знаменателем:
Отбрасываем в числителе и знаменателе х в степени выше первой. Будем иметь
или 
Заключение
В ходе написания работы были использованы такие ключевые понятия дифференциального исчисления как производная, дифференциал, геометрический и физический смысл производной, касательная к графику функции и многое другое, которые используются для решения прикладных задач в математике, физике, экономике.
Цель данной работы - которые решаются с помощью производной.
Список использованной литературы:
1. Терешин Н.А., Терешина Т.Н. «2000 задач по алгебре и началам анализа. 10 кл./
-М.:Аквариум, К.: ГИППВ, 2000. 256 с. Стр.192-193; 216-217; 194; 200; 240.
2. Ф.Ф.Нагибин «Экстремумы»/- М. «Просвещение» 1966 г. Стр. 30-35.
3. Виленкин Н.Я. «Функция в природе и технике»: Кн. для внеклас. чтения IX-X кл. – 2-е изд., испр. –М.: Просвещение, 1985. – 192 с. Стр.88; 94.
4. О.Н. Афанасьева «Сборник задач по математике для техникумов» - М.:Наука 1992.-208 с. Стр.84.
5. Н.В. Мирошин «Сборник задач с решениями для поступающих в вузы.» - М.: ООО «Издательство Астрель» 2002.-832 с. Стр.496.
6. Вавилов В.В. «Задачи по математике. Начала анализа.»-М.: Наука.Гл. ред.физ.-мат.лит., 1990.-608 с. Стр. 411;412-413; 413-414; 416-417; 419-420; 432-433; 422; 423; 424; 430; 365.
7. Мышкис А.Д. «Лекции по высшей математике» Изд. «Наука» 1967 г. Стр. 135.
8. Глейзер Г.И. «История математики в школе» - М.: Просвещение, 1983 г. Стр. 42.
9. Волькенштейн В.С. «Сборник задач по общему курсу физики» М., 1979 г.
10. «Математический энциклопедический словарь.»/Гл.ред. Ю.В.Прохоров.-М:Сов.энциклопедия, 1988.-847 с.
11. «Задачник по курсу математического анализа». ч.II. Под ред. Н.Я.Виленкина.-М: «Просвещение», 1971.
12. «Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов.»/Под ред. Б.П.Демидовича- М: Физматгиз, 1963 г. 472 стр.
13. «Элементы высшей математики»: сб. заданий для практ. занятий: Учеб. Пособие/ С.В.Сочнев.-М: Высш.шк., 2003 г.- 192 с.
Похожие работы
... ^у^е^о ^ с^-^. Итак решение по Ритцу: ^-i-^ Сравнительная таблица имеет вид: Л. 0 0,5 1 1,5 2 у^ 0 -0,275 -0,3571 -0,2758 0 ^г) о -0,2126 -0,3520 -0,3258 0 50 3.6. Об одном подходе к решению нелинейных вариационных задач В отличии от метода Ритца, искомую функцию в двуточечной вариационной задаче зададим в виде: r-^^f^-^^ При этом граничные условия и{а ) = ...
... и менеджмента Санкт-Петербургского Государственного технического университета соответствовал поставленной цели. Его результаты позволили автору разработать оптимальную методику преподавания темы: «Использование электронных таблиц для финансовых и других расчетов». Выполненная Соловьевым Е.А. дипломная работа, в частности разработанная теоретическая часть и план-конспект урока представляет ...
... кадастра памятников России и привязки его к ГИС «Компас-2», я изучил возможности, функции ГИС «Компас-2», а также возможность использования его для создания различных видов природных кадастров. Компас-2 – это сетевая система для представления, моделирования и анализа географической информации Функциональные возможности системы КОМПАС 2: публикация географической информации (ГИ) в сетях ...
... задачи динамики, определять, при каких условиях осуществимо движение с заданными свойствами. С другой стороны, и само развитие теории управления движениями материальных систем вызвало необходимость решения обратных задач динамики в различных постановках. Все это привело к тому, что обратные задачи классической механики оказались своего рода направляющими и исходными задачами современной науки об ...
0 комментариев