Навигация
РІШЕННЯ ЗАДАЧ ІЗ ВИКОРИСТАННЯМ ВЛАСТИВОСТЕЙ ФУНКЦІЇ
33558
знаков
0
таблиц
12
изображений
2. РІШЕННЯ ЗАДАЧ ІЗ ВИКОРИСТАННЯМ ВЛАСТИВОСТЕЙ ФУНКЦІЇ
Не всяке рівняння f(x) = g(x) або нерівність у результаті перетворень або за допомогою вдалої заміни змінної може бути зведене до рівняння або нерівності того або іншого стандартного виду, для якого існує певний алгоритм рішення. У таких випадках іноді виявляється корисним використовувати деякі властивості функцій, такі як монотонність, періодичність, обмеженість, парність і ін.
2.1 Використання монотонності функції
Функція f (x) називається зростаючої на проміжку D, якщо для будь-яких чисел x1 і x2 із проміжку D таких, що x1 < x2, виконується нерівність f (x1) < f (x2).
Функція f (x) називається убутної на проміжку D, якщо для будь-яких чисел x1 і x2 із проміжку D таких, що x1 < x2, виконується нерівність f (x1) > f (x2).
На показаному на малюнку 1 графіку
Малюнок 1
Функція y = f (x), 
, зростає на кожному із проміжків [a; x1) і (x2; b] і убуває на проміжку (x1; x2). Зверніть увагу, що функція зростає на кожному із проміжків [a; x1) і (x2; b], але не на об'єднанні проміжків 
Якщо функція зростає або убуває на деякому проміжку, то вона називається монотонної на цьому проміжку.
Помітимо, що якщо f – монотонна функція на проміжку D (f (x)), те рівняння f (x) = const не може мати більше одного кореня на цьому проміжку.
Дійсно, якщо x1 < x2 – корінь цього рівняння на проміжку D (f(x)), те f (x1) = f (x2) = 0, що суперечить умові монотонності.
Перелічимо властивості монотонних функцій (передбачається, що всі функції визначені на деякому проміжку D).
Сума декількох зростаючих функцій є зростаючою функцією.
Добуток ненегативних зростаючих функцій є зростаюча функція.
Якщо функція f зростає, то функції cf (c > 0) і f + c також зростають, а функція cf (c < 0) убуває. Тут c - деяка константа.
Якщо функція f зростає й зберігає знак, то функція 
убуває.
Якщо функція f зростає й ненегативна, то fn де n
N, також зростає.
Якщо функція f зростає й n – непарне число, то f n також зростає.
Композиція g (f (x)) зростаючих функцій f і g також зростає.
Аналогічні твердження можна сформулювати й для убутної функції.
Крапка a називається крапкою максимуму функції f, якщо існує така ε-околиця крапки a, що для будь-якого x із цієї околиці виконується нерівність f (a) ≥ f (x).
Крапка a називається крапкою мінімуму функції f, якщо існує така ε-околиця крапки a, що для будь-якого x із цієї околиці виконується нерівність f (a) ≤ f (x).
Крапки, у яких досягається максимум або мінімум функції, називаються крапками екстремуму.
У крапці екстремуму відбувається зміна характеру монотонності функції. Так, ліворуч від крапки екстремуму функція може зростати, а праворуч - убувати. Відповідно до визначення, крапка екстремуму повинна бути внутрішньою крапкою області визначення.
Якщо для кожного 
(x ≠ a) виконується нерівність f (x) ≤ f (a) 
, те крапка a називається крапкою найбільшого значення функції на множині D:
Якщо для кожного (x ≠ b) виконується нерівність f (x) > f (b) 
, те крапка b називається крапкою найменшого значення функції на множині D.
Крапка найбільшого або найменшого значення функції на множині D може бути екстремумом функції, але не обов'язково їм є.
Крапку найбільшого (найменшого) значення безперервної на відрізку функції варто шукати серед екстремумів цієї функції і її значень на кінцях відрізка.
Рішення рівнянь і нерівностей з використанням властивості монотонності ґрунтується на наступних твердженнях.
1. Нехай f(х) - безперервна й строго монотонна функція на проміжку Т , тоді рівняння f(x) = З, де З - дана константа, може мати не більше одного рішення на проміжку Т.
2. Нехай f(x) і g(х) - безперервні на проміжку T функції, f(x) строго зростає, а g(х) строго убуває на цьому проміжку, тоді рівняння f(х) = =g(х) може мати не більше одного рішення на проміжку Т. Відзначимо, що як проміжок T можуть бути нескінченний проміжок (-?;+?) , проміжки (а;+?), (-?; а), [а;+?), (-?; b], відрізки, інтервали й напівінтервали.
Приклад 2.1.1 Вирішите рівняння
. [28] (1)
Рішення. Очевидно, що х ≤ 0 не може бути рішенням даного рівняння, тому що тоді 
. Для х > 0 функція 
безперервна й строго зростає, як добуток двох безперервних позитивних строго зростаючих для цих х функцій f(x) = х і 
. Виходить, в області х > 0 функція 
приймає кожне своє значення рівно в одній крапці. Легко бачити, що х = 1 є рішенням даного рівняння, отже, це його єдине рішення.
Відповідь: {1}.
Приклад 2.1.2 Вирішите нерівність
. (2)
Рішення. Кожна з функцій в = 2x, в = 3x, в = 4х безперервна й строго зростаюча на всій осі. Виходить, такий же є й вихідна функція 
. Легко бачити, що при х = 0 функція приймає значення 3. У силу безперервності й строгої монотонності цієї функції при х > 0 маємо 
, при х < 0 маємо 
. Отже, рішеннями даної нерівності є всі х < 0.
Відповідь: (-?; 0).
Приклад 2.1.3 Вирішите рівняння
. (3)
Рішення. Область припустимих значень рівняння (3) є проміжок 
. На ОПЗ функції 
й 
безперервні й строго убувають, отже, безперервна й убуває функція 
. Тому кожне своє значення функція h(x) приймає тільки в одній крапці. Тому що , 
те х = 2 є єдиним коренем вихідного рівняння.
Відповідь: {2}.
Похожие работы
... допомогою цієї програми учень може сам перевіряти набуті знання, і вчитель може перевіряти знання певного учня. Вступ. МЕТА РОБОТИ - системазувати відомості про показникові та логарифмічні рівняння й нерівності та їх системи в шкільному курсі алгебри старшої школи і розкрити роль і місце вивчення показникових та логарифмічних рівняньта нерівностей в школі та вибрати методику подання цієї теми. ...
... , рівняння прийме вид: Очевидно, що , для всіх і Отже, останнє рівняння рівносильне системі: Тим самим, ми довели, що при , рівняння має єдине рішення. Відповідь. . тригонометричний рівняння комбінований графічний Рішення з дослідженням функції Приклад [??] Доведіть, що всі рішення рівняння і- цілі числа. Рішення. Основний період вихідного рівняння дорівнює . Тому ...
... Зауваження. Отже, при рішенні рівнянь із радикалами потрібне вміти користуватися кожним із цих методів і вибирати в кожному випадку оптимальний. 3. Не стандартні методи рішення ірраціональних рівнянь Існують ірраціональні рівняння, які вважаються для школярів звичайних освітніх шкіл задачами підвищених труднощів. Для рішення таких рівнянь краще застосовувати не традиційні методи, а прийоми, ...
... і різної ширини смужок зі зворотньої сторони копії(несправність механізму термічного закріплення зображення). 5. Методи і технічні засоби дослідження документів на право водіння, володіння і користування автотранспортом При дослідженні документів виявлення і вивчення особливостей і ознак проводиться шляхом спостереження, тобто зорового сприйняття. Але при звичайних умовах спостереження і ...
0 комментариев