Навигация
4. Свойство однородности.
Также в общем случае, очевидно, не выполняется. Позже мы покажем, что однородными квази-средними будут только средние степенные.
Итак, по слабому определению квази-средние уже являются средними, но сильному определению они удовлетворяют только наполовину. Поэтому мы и назвали такие величины квази (“почти”)-средними.
Глава 2. Квази-средние и функциональные уравнения
Выше мы определили квази-средние напрямую, конструктивно, но оказывается, что можно дать и аксиоматическое определение, то есть предписать им характеристические свойства. С этой целью отдельно рассмотрим несколько функциональных уравнений, которые также будут использованы нами и для выделения основных классов квази-средних. Напомним, что с помощью свойства симметричности один класс мы уже указали – это величины вида 
.
1. Решение некоторых функциональных уравнений
Теорема 1. Единственными непрерывными хотя бы в одной точке решениями следующих уравнений являются соответственно функции:
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
;
5. 
;
6. 
и 
, x≠0;
7. 
, x>0
Доказательство. 1. Найдём все непрерывные хотя бы в одной точке решения уравнения 
, которое будет основным, так как мы далее сведём к нему все остальные уравнения.
Зафиксируем точку х0 из области определения – ту самую, в которой решение непрерывно, и проверим верность равенства 
для любого r
R.
, что возможно только при 
;
для любого rN;
для r=0;
, но тогда 
и 
для любого rN, то есть равенство верно для всех целых r.
Далее пусть rQ или r=z/n, где pZ и qN. 
и поэтому 
, то есть равенство верно для всех рациональных r.
На последнем шаге используем непрерывность решения в точке х0 и тот факт, что любое действительное число представляется как предел некоторой рациональной последовательности.
Если 
, то 
и 
, а так как 
, заключаем, что 
для любого rR.
Теперь 
, pR (если обозначить не зависящий от х множитель 
за p).
2. Рассмотрим уравнение 
.
, и поэтому функция 
, непрерывная хотя бы в одной точке, удовлетворяет уравнению
, то есть уравнению 1, и поэтому 
.
Точно так же 
, … , 
. Но искомое решение 
, piR.
3. Решим уравнение .
, откуда 
, и поэтому функция 
, непрерывная хотя бы в одной точке, удовлетворяет уравнению 
, то есть 
.
Тогда 
.
4. Обратимся к уравнению .
Прежде всего заметим, что если 
при каком-либо x0, то для любого x можно заключить 
, то есть 
.
Это одно из решений уравнения, и если существует другое решение, то оно не обращается в нуль ни в одной точке. Тогда 
. Но для положительной всюду 
можно определить функцию 
, которая непрерывна хотя бы в одной точке и удовлетворяет уравнению
, то есть . Откуда 
, где 
.
5. Рассмотрим уравнение .
, и поэтому 
, и поэтому 
, то есть g(x) – чётная функция.
Очевидно, если g(x)≠0, то она не определена при х=0. Действительно, если существует g(0), то 
, откуда –тривиальное решение, существование которого очевидно. Таким образом уравнение достаточно рассматривать при х>0, а на отрицательную полуось решение продолжить чётным образом.
Определим функцию 
, где 
для любого х. G(x) непрерывна хотя бы в одной точке и удовлетворяет уравнению 
, то есть . Откуда 
, где 
.
И с учётом чётного продолжения 
.
6. Уравнение 
также сведём к уравнению 1.
Прежде всего заметим, что если 
при каком-либо 
, то для любого x можно заключить 
, то есть –тривиальное решение. Далее 
, и так как 
для нетривиального решения, то из этого равенства следует, что 
.
Но тогда 
и g(–1)=
1.
Если 
, то 
, и g(x) – чётная функция. Если же 
, то 
, и g(x) – нечётная функция. Таким образом g(x) достаточно найти при х>0, а на отрицательную полуось решение продолжить или чётным, или нечётным образом, получив тем самым два решения функционального уравнения.
При х>0 
, так как 
– мы ищем нетривиальное решение. Поэтому можно определить функцию 
, которая непрерывна хотя бы в одной точке и удовлетворяет уравнению 
, то есть . Откуда 
.
И с учётом чётного и нечётного продолжений имеем два решения и 
, x≠0. Для k>0 функции можно по непрерывности доопределить и в нуле, но для k<0 это сделать невозможно. Заметим, что при k=0 вторая функция есть 
, и мы получаем пример разрывного решения.
7. И уравнение 
решим, используя предыдущее уравнение.
, и поэтому функция 
, непрерывная хотя бы в одной точке, удовлетворяет уравнению 
, но тогда по доказанному для x>0 имеем 
(в этом случае ограничимся положительными x, так как далее решение на всей числовой прямой нам не понадобится).
Аналогично, 
, … , 
. Но искомое решение 
, piR.
Похожие работы
... рассматриваться как определенные независимо одна от другой. Зависимость между силой, массой и ускорением. Второй закон Ньютона Данную зависимость с точностью, которая возможна в демонстрационном эксперименте, устанавливают на опыте, Поскольку согласно принятой в стабильном учебнике методике сначала устанавливается только способ задания некоторой силы «безразлично какой именно!», в опытах ...
... учетной информации; - порядок контроля за хозяйственными операциями. Таким образом, отчетность организации представляет собой единую систему информации об ее имущественном и финансовым положении. 2. Анализ финансово - хозяйственной деятельности предприятия (на примере СП «Энергосбыт») 2.1 Технико-экономическая характеристика предприятия СП «Энергосбыт» - филиала ОАО «РЖД» Куйбышевская ...
... politique, ou Simple exposition de la maniere dont se forment, se distribuent et se consomment les richesses»] (1803) Ж. Б. Сэ был крупнейшим представителем классической школы во Франции. Из всех представителей классической политической экономии он, пожалуй, удостоился наиболее яростной критики представителей многих еретических направлений в экономической науке - от марксистов до кейнсианцев. ...
... являются временные структуры коры головного мозга, возникающие при одновременном или последовательном воздействии двух или более раздражителей [31, с. 162].1.2 Психолого-педагогические предпосылки формирования ассоциативного мышления у учащихся средней школы В подростковом возрасте происходит развитие способностей, процессов мышления, приводящее к росту сознания, воображения, суждений и интуиции ...
0 комментариев