Навигация
Некоторые вопросы теории выпуклых функций
31605
знаков
0
таблиц
0
изображений
1. Некоторые вопросы теории выпуклых функций
Выпуклые функции определяются по-разному, но наиболее естественным, пожалуй, является основанное на геометрических соображениях такое
Определение. Функция 
называется выпуклой вниз (вверх) на промежутке X, если любая хорда кривой 
лежит не ниже (не выше) дуги, которую эта хорда стягивает.
Далее будем рассматривать выпуклые вниз функции, а все результаты для выпуклых вверх функций при желании можно получить простым обращением знака в неравенствах.
Теорема 7 (неравенство Иенсена). Для того, чтобы непрерывная функция 
была выпуклой вниз на промежутке X, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство 
для всех 
и 
,
, 
.
Доказательство[2]. Выясним вначале, что геометрически означает указанное неравенство при n=2. Любая точка 
может быть представлена в виде 
, где 
, 
. Так как концы хорды – это точки 
и 
, то точка хорды с абсциссой
x имеет ординату 
. Таким образом неравенство 
означает, что при точка графика функции лежит не выше соответствующей точки хорды, и это верно для любой точки хорды, так как мы берём любые piпри
условии , .
И поэтому для непрерывной функции определение выпуклости вниз и данное неравенство при n=2 эквивалентны.
Покажем сейчас, что это неравенство справедливо и для любого числа точек. Рассуждаем по индукции. Если 
, то 
и т.д.
Верно и обратное, если неравенство 
выполняется для какого-то n>2, то оно выполняется и для n=2.
Действительно, перепишем 
и возьмём 
для 
. Тогда 
, где 
, 
и 
.
Очевидно, если все 
равны друг другу, то мы получаем равенство в нашем неравенстве. В противном случае равенство при n=2 
(
) означает, что любая хорда кривой совпадает с дугой, которую эта хорда стягивает, то есть функция линейна. Мы можем поэтому сделать следующее
Замечание. Если функция не линейна на промежутке X, то равенство в неравенстве Иенсена достигается только тогда, когда все равны друг другу.
Таким образом определение выпуклой функции и данное неравенство для любого n эквивалентны. Поэтому выполнимость неравенства, если необходимо, мы можем считать аналитическим определением выпуклой функции.
Теорема 8 (аналог неравенства Иенсена). Для выпуклой вниз на отрезке 
функции
справедливо неравенство
для всех 
и , ,
.
Доказательство. Представив 
, 
, где 
,
докажем вначале вспомогательное утверждение. Справедливо неравенство 
, 
. Действительно,
Теперь имеем:
.
Равенство в нашем неравенстве достигается только тогда, когда обеспечивается равенство в каждой из произведённых оценок. Поэтому, если функция не линейна, то равенство будет только тогда, когда равны либо 
, либо 
, что следует из условия 
, и только тогда, когда все равны друг другу, что следует из условия 
. В результате мы имеем такое
Замечание. Если функция не линейна на , то равенство в доказанном соотношении достигается только тогда, когда все равны a или все равны b.
И важная для практического применения теорем 7 и 8, позволяющая определять выпуклость достаточно широкого класса функций
Теорема 9 (достаточный признак выпуклой функции). Если функция дважды дифференцируема в некотором интервале и 
(
), то выпукла вниз (вверх) на этом интервале.
Доказательство[4]. Если 
, то 
, и по формуле Тейлора 
. Умножая на pi и складывая эти равенства, мы получаем
, а отсюда в силу 
заключаем, что 
.
Теперь приведём определение выпуклой функции от двух переменных и сформулируем аналогичные утверждения, доказательства которых будут теми же, если не считать очевидных изменений в обозначениях.
Определение. Функция 
называется выпуклой вниз (вверх) в выпуклой области D (то есть области, целиком содержащей отрезок, соединяющий любые её точки), если любая хорда поверхности 
лежит не ниже (не выше) соответствующей дуги на поверхности, которую эта хорда стягивает.
Теорема 10 (неравенство Иенсена). Для того, чтобы непрерывная функция 
была выпуклой вниз в области D, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство 
для всех 
и 
,, 
.
Теорема 11 (аналог неравенства Иенсена). Для выпуклой вниз в прямоугольной области 
, 
, 
функции справедливо неравенство
,
для всех 
, 
, 
, , 
.
Теорема 12 (достаточный признак выпуклой функции). Если функция 
дважды дифференцируема в некоторой открытой области и 
, 
, 
, 
, 
, то выпукла вниз (вверх) в этой области.
Сейчас на основе доказанных теорем перейдём непосредственно к обобщениям неравенств Коши и Гёльдера и их аналогам.
Похожие работы
... рассматриваться как определенные независимо одна от другой. Зависимость между силой, массой и ускорением. Второй закон Ньютона Данную зависимость с точностью, которая возможна в демонстрационном эксперименте, устанавливают на опыте, Поскольку согласно принятой в стабильном учебнике методике сначала устанавливается только способ задания некоторой силы «безразлично какой именно!», в опытах ...
... учетной информации; - порядок контроля за хозяйственными операциями. Таким образом, отчетность организации представляет собой единую систему информации об ее имущественном и финансовым положении. 2. Анализ финансово - хозяйственной деятельности предприятия (на примере СП «Энергосбыт») 2.1 Технико-экономическая характеристика предприятия СП «Энергосбыт» - филиала ОАО «РЖД» Куйбышевская ...
... politique, ou Simple exposition de la maniere dont se forment, se distribuent et se consomment les richesses»] (1803) Ж. Б. Сэ был крупнейшим представителем классической школы во Франции. Из всех представителей классической политической экономии он, пожалуй, удостоился наиболее яростной критики представителей многих еретических направлений в экономической науке - от марксистов до кейнсианцев. ...
... являются временные структуры коры головного мозга, возникающие при одновременном или последовательном воздействии двух или более раздражителей [31, с. 162].1.2 Психолого-педагогические предпосылки формирования ассоциативного мышления у учащихся средней школы В подростковом возрасте происходит развитие способностей, процессов мышления, приводящее к росту сознания, воображения, суждений и интуиции ...
0 комментариев