Навигация
4. Однородные квази-средние
Ранее мы говорили, что квази-средние в общем случае неоднородны, то есть соотношение 
для любых 
не выполняется, но их подкласс – взвешенные средние степенные 
обладают однородностью. Теперь покажем, что других квази-средних с данным свойством не существует [2].
Теорема 5. Взвешенные средние степенные – единственные однородные квази-средние.
Доказательство. Предположим, что равенство 
имеет место, и выведем из него вид задающей квази-среднее функции 
. Перепишем 
или 
=
. Получили тождественные квази-средние, заданные функциями 
и 
. В силу теоремы 4 имеем 
(*), где 
и 
– функции от λ, 
≠0.
Также мы можем положить 
.
Тогда 
. Подставляя теперь в (*) и заменяя λ
на y, найдём, что 
(**). Аналогично 
.
Последние два равенства дают 
для x, y≠1 (***).
Отсюда следует, что функции в левой и правой частях (***) равны постоянной d, то есть 
.
Из (**) вытекает сейчас равенство 
, которое, очевидно,
справедливо и для значений x=1 и y=1, и поэтому ограничение на (***) несущественно.
Итак, мы получили функциональное уравнение 
, рассматривая его, различаем два случая:
1) при d=0 
, и поэтому для x>0 
;
2) при d≠0 полагая 
, сведём уравнение к 
, и поэтому для x>0 
и
.
В первом случае по теореме 4 о тождественных квази-средних 
можно заменить на 
, и тогда получаем среднее геометрическое, которое принято считать частным случаем среднего степенного при 
. Во втором, заменяя 
на 
– среднее степенное.
Следствие. Средние степенные – единственный класс квази-средних, удовлетворяющих сильному определению средней величины.
5. Аддитивные квази-средние
Рассмотрим ещё один класс квази-средних. Назовём свойство 
аддитивностью и найдём все квази-средние с данным свойством.
Теорема 6. Взвешенное среднее арифметическое и квази-среднее, заданное показательной функцией 
– единственные аддитивные квази-средние.
Доказательство. Аддитивность указанных квази-средних показывается простой проверкой. Для доказательства их единственности предполагаем, что равенство 
имеет место, и выводим из него вид задающей квази-среднее функции 
. Переписываем соотношение
или 
=
. Получаем тождественные
квази-средние, заданные функциями 
и 
. В силу теоремы имеем 
(*), где 
и 
– функции от t, 
≠0, а также можем положить 
.
Далее рассуждая аналогично предыдущей теореме, приходим к функциональному уравнению 
, рассматривая которое,
вновь различаем два случая:
1) при d=0 
, и поэтому 
;
2) при d≠0 полагая , сведём уравнение к 
, и поэтому 
и 
.
В первом случае имеем среднее арифметическое. Во втором – квази-среднее, заданное показательной функцией 
.
И в заключении этой главы на основе доказанных теорем 5 и 6 простое
Следствие. Взвешенное среднее арифметическое – единственное однородное и одновременно аддитивное квази-среднее.
Глава 3. Квази-средние и выпуклые функции
Для классических средних существует множество неравенств, которые могут быть обобщены в различных направлениях. Одним из таких обобщений являются неравенства для квази-средних, которые мы и рассмотрим в этой главе. Как их частные случаи мы также получим основные неравенства для средних степенных (неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом; неравенства, характеризующие свойство монотонности средних степенных; неравенство Гюйгенса; неравенство Гёльдера) и их аналоги.
Как в основе доказательств приведённых ранее теорем лежали функциональные уравнения, так и сейчас нам будет важно отдельно рассмотреть ряд положений, касающихся выпуклых функций.
Похожие работы
... рассматриваться как определенные независимо одна от другой. Зависимость между силой, массой и ускорением. Второй закон Ньютона Данную зависимость с точностью, которая возможна в демонстрационном эксперименте, устанавливают на опыте, Поскольку согласно принятой в стабильном учебнике методике сначала устанавливается только способ задания некоторой силы «безразлично какой именно!», в опытах ...
... учетной информации; - порядок контроля за хозяйственными операциями. Таким образом, отчетность организации представляет собой единую систему информации об ее имущественном и финансовым положении. 2. Анализ финансово - хозяйственной деятельности предприятия (на примере СП «Энергосбыт») 2.1 Технико-экономическая характеристика предприятия СП «Энергосбыт» - филиала ОАО «РЖД» Куйбышевская ...
... politique, ou Simple exposition de la maniere dont se forment, se distribuent et se consomment les richesses»] (1803) Ж. Б. Сэ был крупнейшим представителем классической школы во Франции. Из всех представителей классической политической экономии он, пожалуй, удостоился наиболее яростной критики представителей многих еретических направлений в экономической науке - от марксистов до кейнсианцев. ...
... являются временные структуры коры головного мозга, возникающие при одновременном или последовательном воздействии двух или более раздражителей [31, с. 162].1.2 Психолого-педагогические предпосылки формирования ассоциативного мышления у учащихся средней школы В подростковом возрасте происходит развитие способностей, процессов мышления, приводящее к росту сознания, воображения, суждений и интуиции ...
0 комментариев