Навигация
Обобщение неравенства Гёльдера и его аналог
31605
знаков
0
таблиц
0
изображений
3. Обобщение неравенства Гёльдера и его аналог
Один из вариантов неравенства Гёльдера (для средних значений) выглядит так [2]: 
, где 
, 
, 
, 
, 
, 
.
Запишем его в следующей форме 
с квази-средними, заданными функциями 
, 
, 
, или 
. Снова, как и для обобщения неравенства Коши, зададимся вопросом, будет ли неравенство Гёльдера выполнятся для произвольных квази-средних.
Теорема 15. Для того чтобы выполнялось неравенство 
для всех 
, , 
, необходимо и достаточно, чтобы 
=
была выпуклой вверх функцией, если 
возрастает,
или выпуклой вниз функцией, если убывает.
Доказательство. Пусть возрастает. Тогда наше неравенство эквивалентно неравенству 
. Полагая 
=
и 
, 
, переписываем 
. А новое неравенство по теореме 10 справедливо тогда и только тогда, когда функция 
или 
выпукла вверх.
При убывании рассуждаем аналогично.
Теорема 16. Для того, чтобы для всех 
, 
, 
, 
и 
, , 
выполнялось неравенство 
достаточно, чтобы функция 
=
была выпуклой вверх, если возрастает, или выпуклой вниз, если убывает.
Доказательство точно так же, как и предыдущей теореме, сводим к теореме 11.
Теоремы 15 и 16 содержат как частные случаи следующие известные неравенства и их аналоги.
Пример 1 (неравенство Гёльдера). Для 
, 
, 
функция =
=
по теореме 12 выпукла вверх, если и 
, и поэтому 
для .
Пример 2 (неравенство Коши-Буняковского). Для 
, где , , .
Пример 1/ (аналог неравенства Гёльдера). 
, где 
,
, 
, 
, 
, ,
, , 
.
Пример 2/ (аналог неравенства Коши-Буняковского). 
, где 
, , .
Заключение
Теперь когда мы завершили изложение нашего вопроса, скажем несколько слов о возможных направлениях развития темы.
Всё доказанное о квази-средних можно разделить на две части: теоретическую (аксиоматическое задание, выделение классов новых величин) и практическую (неравенства для квази-средних как метод доказательства менее общих неравенств).
Первую часть считаем завершённой. Вторая часть остаётся открытой. Как мы видели, доказательство новых неравенств для выпуклых функций даёт возможность сформулировать новые неравенства и для квази-средних. Последние в свою очередь можно конкретизировать для их частных случаев. Так с помощью аналога неравенства Иенсена мы вывели неравенство для квази-средних, из которого в качестве следствия получили аналог неравенства Коши.
Библиографический список
1. Muliere, P. On Quasi-Means [Text] / P. Muliere // J. Ineq. Pure and Appl. Math. 3(2), 1991, Article 21.
2. Харди, Г.Г. Неравенства [Text] / Г.Г. Харди, Дж. Е. Литтлвуд, Г. Полиа.–М.: Иностранная литература, 1948.
3. Калинин, С. И. Средние величины степенного типа. Неравенства Коши и Ки Фана: Учебное пособие по спецкурсу [Text] / С. И. Калинин.–Киров: Изд-во ВГГУ, 2002.
4. Беккенбах Э. Неравенства [Text]/ Э. Беккенбах, Р. Беллман.–М.: Издательство “Мир”, 1965.
5. Некоторые вопросы математического анализа и методики его преподавания: Сб. научн. статей [Text].– Киров: Изд-во ВГГУ, 2001.
6. Mericoski, J. K. Extending means of two variables to several variables [Text] / J. K. Mericoski. // J. Ineq. Pure and Appl. Math. 5(3), 2004, Article 65.
Похожие работы
... рассматриваться как определенные независимо одна от другой. Зависимость между силой, массой и ускорением. Второй закон Ньютона Данную зависимость с точностью, которая возможна в демонстрационном эксперименте, устанавливают на опыте, Поскольку согласно принятой в стабильном учебнике методике сначала устанавливается только способ задания некоторой силы «безразлично какой именно!», в опытах ...
... учетной информации; - порядок контроля за хозяйственными операциями. Таким образом, отчетность организации представляет собой единую систему информации об ее имущественном и финансовым положении. 2. Анализ финансово - хозяйственной деятельности предприятия (на примере СП «Энергосбыт») 2.1 Технико-экономическая характеристика предприятия СП «Энергосбыт» - филиала ОАО «РЖД» Куйбышевская ...
... politique, ou Simple exposition de la maniere dont se forment, se distribuent et se consomment les richesses»] (1803) Ж. Б. Сэ был крупнейшим представителем классической школы во Франции. Из всех представителей классической политической экономии он, пожалуй, удостоился наиболее яростной критики представителей многих еретических направлений в экономической науке - от марксистов до кейнсианцев. ...
... являются временные структуры коры головного мозга, возникающие при одновременном или последовательном воздействии двух или более раздражителей [31, с. 162].1.2 Психолого-педагогические предпосылки формирования ассоциативного мышления у учащихся средней школы В подростковом возрасте происходит развитие способностей, процессов мышления, приводящее к росту сознания, воображения, суждений и интуиции ...
0 комментариев