3 Геометрические изложения и дифференцированные исчисления (построение графиков)

Функция Пределы последовательностей и функций, определенная во всех точках промежутка Пределы последовательностей и функций, называется возрастающей (убывающей) в этом промежутке, если для любых двух значений аргумента, принадлежащих этому промежутку, большему из них соответствует большее (меньшее) значение функции, т. е,

если Пределы последовательностей и функций то при

Пределы последовательностей и функций – возрастающая, Пределы последовательностей и функций – убывающая.

Из данного определения вытекает, что для возрастающей функции приращения аргумента и функции имеет один и тот же знак, в силу чего их отношение положительно: Пределы последовательностей и функций. Для убывающей функции эти приращения имеют разные знаки, в силу чего Пределы последовательностей и функций. Те значения аргумента, при которых функция достигает своих наибольших и наименьших по сравнению с близкими значений, называются точками максимума и минимума (точками экстремума).

Точка Пределы последовательностей и функций называется точкой максимума (минимума) непрерывной функции Пределы последовательностей и функций, а значение Пределы последовательностей и функций называется максимумом (минимумом) этой функции, если существует некоторая окрестность точки Пределы последовательностей и функций такая, что значение функции в любой точке этой окрестности будет меньше (больше), чем ее значение в самой точке Пределы последовательностей и функций, т. е. меньше (больше), чем максимум (минимум) Пределы последовательностей и функций (рис. 1).

Пределы последовательностей и функцийПределы последовательностей и функцийу max у

min

f(х0)  f(х0)

О х0–d х0  х0+d  х О х0–d х0  х0+d х

точка максимума точка минимума

Рис. 1

Из определений точек экстремума следует, что вне d-окрестности точки экстремума поведение функции произвольно, т. е. понятия максимума и минимума функции носят характер локальных (местных), а не абсолютных понятий.

Чтобы установить признаки возрастания и убывания и признаки экстремума функций, рассмотрим ряд важных теорем математического анализа, на которые опираются все дальнейшие исследования функций.

Рекомендуется исследование функций проводить в определенной последовательности.

1. Найти область определения функции; точки разрыва и их характер; вертикальные асимптоты графика.

2. Определить возможный тип симметрии функции (четность, нечетность функции); точки пересечения графика функции с осями координат, т. е. решить уравнения Пределы последовательностей и функций и Пределы последовательностей и функций.

3. Найти наклонные и горизонтальные асимптоты графика функции.

4. Использовать первую производную для определения области возрастания и убывания и экстремумов функции.

5. Использовать вторую производную для определения участков выпуклости и вогнутости графика и точек перегиба.

6. Построить график функции с учетом проведенного исследования.

Пример. Провести полное исследование функции

Пределы последовательностей и функций

Решение:

Проведем полное исследование функции, используя следующую схему:

найти область определения функции;

исследовать на четность и нечетность функцию;

найти точки разрыва функции;

найти асимптоты (вертикальные, наклонные и горизонтальные) графика функции;

найти точки пересечения графика функции с координатными осями;

исследовать функцию на монотонность (указав интервалы возрастания и убывания) и экстремум;

определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба;

при необходимости вычислить значения функции в дополнительных точках;

построить схематично график функции, используя результаты полученные в пунктах 1-8.

Областью определения функции является множество Пределы последовательностей и функций.

Так как Пределы последовательностей и функций и Пределы последовательностей и функций, то функция не является ни четной, ни нечетной.

Функция претерпевает разрыв в точке Пределы последовательностей и функций.

Найдем асимптоты графиков функции:

а). Прямая Пределы последовательностей и функций является вертикальной асимптотой, т.к.

Пределы последовательностей и функций, Пределы последовательностей и функций

б). Находим наклонные и горизонтальные асимптоты (горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот) Пределы последовательностей и функций,

где Пределы последовательностей и функций;

Пределы последовательностей и функций

Таким образом, прямая Пределы последовательностей и функций является единственной наклонной асимптотой и на Пределы последовательностей и функций, и на Пределы последовательностей и функций.

Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.

а) С осью Пределы последовательностей и функций: Пределы последовательностей и функций, Пределы последовательностей и функций, т.е. точка пересечения с осью Пределы последовательностей и функций - Пределы последовательностей и функций.

б) С осью Пределы последовательностей и функций: Пределы последовательностей и функций, Пределы последовательностей и функций, т.е. точка пересечения с осью Пределы последовательностей и функций - Пределы последовательностей и функций.


Информация о работе «Пределы последовательностей и функций»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 18636
Количество таблиц: 4
Количество изображений: 6

Похожие работы

Скачать
14921
0
1

... знаменателя и отношению коэффициентов при старших членах, если степени числителя и знаменателя равны. Для упрощения задачи нахождения предела последовательности, вышеуказанного вида, мы прибегаем к помощи теоремы Штольца. Теорема Штольца Для определения пределов неопределённых выражений  типа часто бывает полезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу (O. Stolz). Теорема: Пусть варианта ,  ...

Скачать
16319
0
4

... такому произведению будет соответствовать свертка. Другими словами, выходной процесс системы, на которую действуют управляющее  и возмущающее  воздействия со своими передаточными функциями  и , в действительной области можно представить в виде , . 5 Графические представления частотных характеристик Как уже отмечалось, частотные представления являются основой классических методов теории ...

Скачать
17589
0
0

... предел функции: Решение. Воспользуемся первым замечательным пределом  Тогда Пример 3. Найти предел функции: Решение. Воспользуемся вторым замечательным пределом  Тогда Непрерывность функции нескольких переменных По определению функция f (x, y) непрерывна в точке (х0, у0), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе в самой точке (х0, у0) и если предел f (x, y) в этой ...

Скачать
9976
1
0

... производной: diff (f (х) , х$3). Пример 1. Вычисление производных. > s:=x^3*cos(x)+y^2*ln(sin(x)); > diff(s,x); > diff(s,x$2); > diff(s,x,y); > fs:=Diff(s,x); > q:=sqrt(fs); > value(%); Последние три команды показывают использование отложенной формы команды дифференцирования. 2. Интегрирование выражений Команда int( ) имеет отложенную форму ...

0 комментариев


Наверх