Производная и дифференциал
Геометрические изложения и дифференцированные исчисления (построение графиков)
Исследуем функцию на возрастание, убывание и экстремум. Для этого найдем производную функции
Неопределенный интеграл
Результат интегрирования проверим дифференцированием. Для этого найдем производную
Функции нескольких переменных, дифференцированных исчислений
Навигация
Функции нескольких переменных, дифференцированных исчислений
Пределы последовательностей и функций
18636
знаков
4
таблицы
6
изображений
6. Функции нескольких переменных, дифференцированных исчислений
До сих пор рассматривались функции 
одной переменной х. В случае зависимости параметров какого-то процесса или явления от многих факторов вводится понятие функции нескольких переменных.
Пусть каждому набору значений n переменных величин 
из множества M , называемых независимыми переменными, по какому-либо закону ставится в соответствие некоторое число z, называемое зависимой переменной. Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных 
.
|
z y O x M Рис. 3 | Функция одной переменной |
Приведем примеры функций нескольких переменных.
1. Функция вида 
, где 
– постоянные числа, называется линейной или гиперплоскостью 
-мерном пространстве.
2. Функция вида 
, где 
– постоянные числа, называется квадратичной формой от переменных 
.
При рассмотрении функций в n-мерном пространстве широко используется геометрический язык, хотя буквальное понимание геометрических терминов возможно только при п = 2 и п = 3.
Далее для наглядности будем рассматривать функции двух переменных (
), хотя практически все понятия и теоремы, сформулированные для , переносятся на случай 
. Основные понятия математического анализа, введенные для функции одной переменной, переносятся на случай двух переменных. Так, число А называется пределом функции 
в точке 
, если для любого числа 
можно найти число 
такое, что для всех точек 
из d-окрестности точки М выполняется неравенство 
. Для обозначения предела функции в точке используется символика
.
Окрестностью точки называется круг, содержащий точку М.
В случае функции двух переменных аргумент может стремиться к предельной точке по различным направлениям на плоскости, поэтому следует говорить о пределах функции в точке вдоль определенных линий.
Функция 
называется непрерывной в точке 
, если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке, т. е. 
. Геометрический смысл непрерывности функции при очевиден: график функции представляет собой в точке непрерывности 
сплошную поверхность в некоторой окрестности этой точки.
Пример. Найти экстремум функции двух переменных z = x2 + y2, x Î [-20, 20], y Î [-10, 10].
Решение.
Необходимое условие экстремума 
= 2х = 0, 
= 2у = 0, откуда координаты стационарной точки (хст, уст) = (0, 0).
Вторые производные А = 
= 2; В = 
= 0; С = 
= 2. Так как AC - B2 = 4 > 0, то в точке (0, 0) — локальный минимум.
Значение функции в точке минимума z (0, 0) = 0.
Список литературыВыгодский М.Я. Справочник по высшей математике. - М.: Джангар, 2000. - 864 с.
Гордон В.А., Шмаркова Л.И. Краткий курс математики / Учебное пособие. – Орёл: ОрёлГТУ, 2000. – 96 с.
Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: М.: Наука, 19
Похожие работы
... знаменателя и отношению коэффициентов при старших членах, если степени числителя и знаменателя равны. Для упрощения задачи нахождения предела последовательности, вышеуказанного вида, мы прибегаем к помощи теоремы Штольца. Теорема Штольца Для определения пределов неопределённых выражений типа часто бывает полезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу (O. Stolz). Теорема: Пусть варианта , ...
... такому произведению будет соответствовать свертка. Другими словами, выходной процесс системы, на которую действуют управляющее и возмущающее воздействия со своими передаточными функциями и , в действительной области можно представить в виде , . 5 Графические представления частотных характеристик Как уже отмечалось, частотные представления являются основой классических методов теории ...
... предел функции: Решение. Воспользуемся первым замечательным пределом Тогда Пример 3. Найти предел функции: Решение. Воспользуемся вторым замечательным пределом Тогда Непрерывность функции нескольких переменных По определению функция f (x, y) непрерывна в точке (х0, у0), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе в самой точке (х0, у0) и если предел f (x, y) в этой ...
... производной: diff (f (х) , х$3). Пример 1. Вычисление производных. > s:=x^3*cos(x)+y^2*ln(sin(x)); > diff(s,x); > diff(s,x$2); > diff(s,x,y); > fs:=Diff(s,x); > q:=sqrt(fs); > value(%); Последние три команды показывают использование отложенной формы команды дифференцирования. 2. Интегрирование выражений Команда int( ) имеет отложенную форму ...
0 комментариев