6. Функции нескольких переменных, дифференцированных исчислений

До сих пор рассматривались функции Пределы последовательностей и функций одной переменной х. В случае зависимости параметров какого-то процесса или явления от многих факторов вводится понятие функции нескольких переменных.

Пусть каждому набору значений n переменных величин Пределы последовательностей и функций из множества M , называемых независимыми переменными, по какому-либо закону ставится в соответствие некоторое число z, называемое зависимой переменной. Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных Пределы последовательностей и функций.

Пределы последовательностей и функций

z Пределы последовательностей и функций

 y

O

x

M

Рис. 3

Функция одной переменной Пределы последовательностей и функций изображается на плоскости в виде линии. В случае двух переменных область определения M функции Пределы последовательностей и функций представляет собой некоторое множество точек на координатной плоскости Оxy и тогда графиком функции является некоторая поверхность (рис. 3).

Приведем примеры функций нескольких переменных.

1. Функция вида Пределы последовательностей и функций, где Пределы последовательностей и функций – постоянные числа, называется линейной или гиперплоскостью Пределы последовательностей и функций-мерном пространстве.

2. Функция вида Пределы последовательностей и функций Пределы последовательностей и функций, где Пределы последовательностей и функций – постоянные числа, называется квадратичной формой от переменных Пределы последовательностей и функций.

При рассмотрении функций в n-мерном пространстве широко используется геометрический язык, хотя буквальное понимание геометрических терминов возможно только при п = 2 и п = 3.

Далее для наглядности будем рассматривать функции двух переменных (Пределы последовательностей и функций), хотя практически все понятия и теоремы, сформулированные для Пределы последовательностей и функций, переносятся на случай Пределы последовательностей и функций. Основные понятия математического анализа, введенные для функции одной переменной, переносятся на случай двух переменных. Так, число А называется пределом функции Пределы последовательностей и функций в точке Пределы последовательностей и функций, если для любого числа Пределы последовательностей и функций можно найти число Пределы последовательностей и функций такое, что для всех точек Пределы последовательностей и функций из d-окрестности точки М выполняется неравенство Пределы последовательностей и функций. Для обозначения предела функции в точке используется символика

Пределы последовательностей и функций.

Окрестностью точки Пределы последовательностей и функций называется круг, содержащий точку М.

В случае функции двух переменных аргумент может стремиться к предельной точке по различным направлениям на плоскости, поэтому следует говорить о пределах функции в точке вдоль определенных линий.

Функция Пределы последовательностей и функций называется непрерывной в точке Пределы последовательностей и функций, если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке, т. е. Пределы последовательностей и функций. Геометрический смысл непрерывности функции при Пределы последовательностей и функций очевиден: график функции Пределы последовательностей и функций представляет собой в точке непрерывности Пределы последовательностей и функций сплошную поверхность в некоторой окрестности этой точки.

Пример. Найти экстремум функции двух переменных z = x2 + y2, x Î [-20, 20], y Î [-10, 10].

Решение.

Необходимое условие экстремума Пределы последовательностей и функций = 2х = 0, Пределы последовательностей и функций = 2у = 0, откуда координаты стационарной точки (хст, уст) = (0, 0).

Вторые производные А = Пределы последовательностей и функций= 2; В = Пределы последовательностей и функций= 0; С = Пределы последовательностей и функций= 2. Так как AC - B2 = 4 > 0, то в точке (0, 0) — локальный минимум.

Значение функции в точке минимума z (0, 0) = 0.

Список литературы

Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. - М.: Джангар, 2000. - 864 с.

Гордон В.А., Шмаркова Л.И. Краткий курс математики / Учебное пособие. – Орёл: ОрёлГТУ, 2000. – 96 с.

Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: М.: Наука, 19


Информация о работе «Пределы последовательностей и функций»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 18636
Количество таблиц: 4
Количество изображений: 6

Похожие работы

Скачать
14921
0
1

... знаменателя и отношению коэффициентов при старших членах, если степени числителя и знаменателя равны. Для упрощения задачи нахождения предела последовательности, вышеуказанного вида, мы прибегаем к помощи теоремы Штольца. Теорема Штольца Для определения пределов неопределённых выражений  типа часто бывает полезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу (O. Stolz). Теорема: Пусть варианта ,  ...

Скачать
16319
0
4

... такому произведению будет соответствовать свертка. Другими словами, выходной процесс системы, на которую действуют управляющее  и возмущающее  воздействия со своими передаточными функциями  и , в действительной области можно представить в виде , . 5 Графические представления частотных характеристик Как уже отмечалось, частотные представления являются основой классических методов теории ...

Скачать
17589
0
0

... предел функции: Решение. Воспользуемся первым замечательным пределом  Тогда Пример 3. Найти предел функции: Решение. Воспользуемся вторым замечательным пределом  Тогда Непрерывность функции нескольких переменных По определению функция f (x, y) непрерывна в точке (х0, у0), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе в самой точке (х0, у0) и если предел f (x, y) в этой ...

Скачать
9976
1
0

... производной: diff (f (х) , х$3). Пример 1. Вычисление производных. > s:=x^3*cos(x)+y^2*ln(sin(x)); > diff(s,x); > diff(s,x$2); > diff(s,x,y); > fs:=Diff(s,x); > q:=sqrt(fs); > value(%); Последние три команды показывают использование отложенной формы команды дифференцирования. 2. Интегрирование выражений Команда int( ) имеет отложенную форму ...

0 комментариев


Наверх