Вычислительные методы
Метод деления отрезка пополам (метод дихотомии, метод бисекции)
Метод Ньютона (метод касательных)
Метод секущих (метод хорд)
Постановка задачи
Метод исключения Гаусса с выбором главного элемента по столбцу
Вычисление определителя методом исключения Гаусса
Метод Зейделя
Интерполяция функции многочленами Лагранжа
Аппроксимация функций. Метод наименьших квадратов
Квадратичная аппроксимация (m = 2)
Линейная аппроксимация (m =1)
Постановка задачи численного интегрирования
Метод трапеций
Правило Рунге практической оценки погрешности
Метод Эйлера
Модифицированные методы Эйлера
Метод Рунге – Кутта
Методом деления отрезка пополам найти корень уравнения
Решение системы линейных алгебраических уравнений простым методом исключения Гаусса
Навигация
Аппроксимация функций. Метод наименьших квадратов
Вычислительная математика
100779
знаков
18
таблиц
23
изображения
4.4 Аппроксимация функций. Метод наименьших квадратов
В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично или в виде набора точек с координатами (xi, yi), i = 0, 1, 2,... , n, где n – общее количество точек. Как правило, эти табличные данные получены экспериментально и имеют погрешности (рис. 2.5)
Рис.4.2
При аппроксимации желательно получить относительно простую функциональную зависимость (например, многочлен), которая позволила бы "сгладить" экспериментальные погрешности, вычислять значения функции в точках, не содержащихся в исходной таблице.
Эта функциональная зависимость должна с достаточной точностью соответствовать исходной табличной зависимости. В качестве критерия точности чаще всего используют критерий наименьших квадратов, т.е. определяют такую функциональную зависимость f(x), при которой
S =
,
(4.12)
обращается в минимум.
Погрешность приближения оценивается величиной среднеквадратического уклонения
D = 
.
(4.13)
В качестве функциональной зависимости рассмотрим многочлен
Pm(x)=a0 +a1x+a2x2+...+amxm. (4.14)
Формула (4.12) примет вид
S =
Условия минимума S можно записать, приравнивая нулю частные производные S по всем переменным a0,a1, a2, … , am. Получим систему уравнений
= –
= 0, или
= 0, k = 0, 1, … , m. (4.15)
Систему уравнений (4.15) перепишем в следующем виде:
a0
+ a1
+ … +am
= 
, k = 0, 1, … , m (4.16)
Введем обозначения:
ck = , bk = .
Система (4.16) может быть записана так:
a0ck+ a1ck+1 + … + ck+mam = bk, k = 0, 1, … , m. (4.17)
Перепишем систему (4.17) в развернутом виде:
c0a0 + c1a1 + c2a2… + cmam = b0
c1a0 + c2a1 + c3a2… + cm+1am = b1
(4.18)
cma0 + cm+1a1 + cm+2a2… + c2mam = bm
Матричная запись системы (4.18) имеет следующий вид:
Ca = b. (4.19)
Для определения коэффициентов ak, k = 0, 1, … , m, и, следовательно, искомого многочлена (4.14) необходимо вычислить суммы ck, bk и решить систему уравнений (4.18). Матрица C системы (4.19) называется матрицей Грама и является симметричной и положительно определенной. Эти полезные свойства используются при решении.
Погрешность приближения в соответствии с формулой (4.13) составит
D = 
.
(4.20)
Рассмотрим частные случаи m =1 и m = 2.
1. Линейная аппроксимация (m = 1).
P1(x) = a0 + a1x.
c0 = 
= n + 1; c1 = 
= 
; c2 = 
; (4.21)
b0 = 
= 
; b1 = 
= 
.
(4.22)
c0 c1 n+1
C = = ,
c1 c2
b = (b0, b1)T = (,)T.
Решение системы уравнений Ca = b найдем по правилу Крамера:
a0 = 
, a1 = 
,
где úCú – определитель матрицы C, аúCiú – определитель матрицы Ci, полученной из матрицы C заменой i-го столбца столбцом свободных членов b, i = 1, 2.
Таким образом,
a0 = 
, a1 = 
.
(4.23)
Алгоритм 4.1 (Алгоритм метода наименьших квадратов. Линейная аппроксимация).
Шаг 1. Ввести исходные данные: xi, yi, i=0, 1, 2, ... , n.
Шаг 2. Вычислить коэффициенты c0, c1, b0, b1 по формулам (4.21), (4.22).
Шаг 3. Вычислить a0, a1 по формулам (4.23).
Шаг 4. Вычислить величину погрешности
D1 = 
.
(4.24)
Шаг 5. Вывести на экран результаты: аппроксимирующую линейную функцию P1(x) = a0 + a1x и величину погрешности D1.
Похожие работы
... . Рассмотрение метода ветвей и границ для решения задачи о коммивояжере удобнее всего проводить на фоне конкретного примера. Пользуясь введенными здесь обозначениями, мы проводим это описание в следующей лекции. Введем некоторые термины. Пусть имеется некоторая чис- ловая матрица. Привести строку этой матрицы означает выде-лить в строке минимальный элемент (его называют константой приведения) ...
... если - предельная абсолютная погрешность приближённого числа , то (1.2) отсюда следует, что (1.3) Значение предельной абсолютной погрешности, обычно, подбирается интуитивно по смыслу задачи. Пример 2: Определить предельную абсолютную погрешность числа , заменяющего число , точное значение которого нам неизвестно. Так как мы знаем, что , ...
... удивили меня…, хоть речь идёт обо мне самой. Они действительно написаны прекрасным стилем, который превосходит стиль самого очерка" /2/. 2.3. Рождение первенца и критическое перенапряжение Августа Ада Лавлейс работает с большим напряжением. В письмах к Бэббиджу она неоднократно жалуется на утомление, болезни, плохое самочувствие. Наконец, 6 августа Бэббидж отсылает Аде свои последние замечания ...
... в Украине, бывшем Советском Союзе и за рубежом научная школа теоретического программирования. В 2001-м году ее не стало... Но не только в научном плане велика роль женщин в развитии вычислительной техники. Со временем образуется огромное количество различных фирм по разработке и продаже программного и аппаратного обеспечения. Следовательно, разыгрываются человеческие трагедии капиталистического ...
0 комментариев