Вычислительные методы
Метод деления отрезка пополам (метод дихотомии, метод бисекции)
Метод Ньютона (метод касательных)
Метод секущих (метод хорд)
Постановка задачи
Метод исключения Гаусса с выбором главного элемента по столбцу
Вычисление определителя методом исключения Гаусса
Метод Зейделя
Интерполяция функции многочленами Лагранжа
Аппроксимация функций. Метод наименьших квадратов
Квадратичная аппроксимация (m = 2)
Линейная аппроксимация (m =1)
Постановка задачи численного интегрирования
Метод трапеций
Правило Рунге практической оценки погрешности
Метод Эйлера
Модифицированные методы Эйлера
Метод Рунге – Кутта
Методом деления отрезка пополам найти корень уравнения
Решение системы линейных алгебраических уравнений простым методом исключения Гаусса
Навигация
Постановка задачи численного интегрирования
Вычислительная математика
100779
знаков
18
таблиц
23
изображения
5.1 Постановка задачи численного интегрирования
Далеко не все интегралы можно вычислить по известной из математического анализа формуле Ньютона – Лейбница:
I =
= F(b) – F(a), (5.1)
где F(x) – первообразная функции f(x). Например, в элементарных функциях не выражается интеграл 
. Но даже в тех случаях, когда удается выразить первообразную функцию F(x) через элементарные функции, она может оказаться очень сложной для вычислений. Кроме того, точное значение интеграла по формуле (5.1) нельзя получить, если функция f(x) задается таблицей. В этих случаях обращаются к методам численного интегрирования.
Суть численного интегрирования заключается в том, что подынтегральную функцию f(x) заменяют другой приближенной функцией, так, чтобы, во-первых, она была близка к f(x) и, во вторых, интеграл от нее легко вычислялся. Например, можно заменить подынтегральную функцию интерполяционным многочленом. Широко используют квадратурные формулы:
» 
,
(5.2)
где xi – некоторые точки на отрезке [a, b],называемые узлами квадратурной формулы, Ai – числовые коэффициенты, называемые весами квадратурной формулы, n ³ 0 – целое число.
5.2 Метод прямоугольников
Формулу
прямоугольников можно получить из геометрической интерпретации интеграла. Будем интерпретировать интеграл как площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y = f(x), осью абсцисс и прямыми x = a и x = b (рис. 5.1).
Рис. 5.1
Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей длиной h, так, что h = 
. При этом получим точки a = x0 < x1< x2 < … < xn = b и xi+1 = xi + h, i = 0, 1, … , n – 1 (рис. 5.2)
Рис. 5.2
Заменим приближенно площадь криволинейной трапеции площадью ступенчатой фигуры, изображенной на рис. 5.3.
Рис. 5.3
Эта фигура состоит из n прямоугольников. Основание i-го прямоугольника образует отрезок [xi, xi+1] длины h, а высота основания равна значению функции в середине отрезка [xi, xi+1], т е. f
(рис. 5.4).
Рис. 5.4
Тогда получим квадратурную формулу средних прямоугольников:
I =» Iпр = 
(5.3)
Формулу (5.3) называют также формулой средних прямоугольников. Иногда используют формулы
I » I
=
,
(5.4)
I » I
=
,
(5.5)
которые называют соответственно квадратурными формулами левых и правых прямоугольников.
Геометрические иллюстрации этих формул приведены на рис. 5.5 и 5.6.
Рис. 5.5
Рис. 5. 6
Оценка погрешности. Для оценки погрешности формулы прямоугольников воспользуемся следующей теоремой .
Теорема 5.1. Пусть функция f дважды непрерывно дифференцируема на отрезке [a, b]. Тогда для формулы прямоугольников справедлива следующая оценка погрешности:
| I – Iпр| £ 
h2,
(5.6)
где M2 = 
|f "(x)|
Пример 5.1.
Вычислим значение интеграла 
по формуле средних прямоугольников (5.3) с шагом h = 0.1.
Составим таблицу значений функции e
(табл. 5.1):
Таблица 5.1
| x | e | x | e |
| 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 | 1.0000000 0.9975031 0.9900498 0.9777512 0.9607894 0.9394131 0.9139312 0.8847059 0.8521438 0.8166865 0.7788008 | 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 | 0.7389685 0.6976763 0.6554063 0.6126264 0.5697828 0.5272924 0.4855369 0.4448581 0.4055545 0.3678794 |
Производя вычисления по формуле (5.3), получим:
Iпр = 0.74713088.
Оценим погрешность полученного значения. Имеем:
f "(x) = (e)" = (4x2
– 2) e.
Нетрудно убедиться, что | f "(x)| £ M2 = 2. Поэтому по формуле(5.4)
| I
– Iпр | £ 
(0.1)2 » 0.84× 10-3.
Похожие работы
... . Рассмотрение метода ветвей и границ для решения задачи о коммивояжере удобнее всего проводить на фоне конкретного примера. Пользуясь введенными здесь обозначениями, мы проводим это описание в следующей лекции. Введем некоторые термины. Пусть имеется некоторая чис- ловая матрица. Привести строку этой матрицы означает выде-лить в строке минимальный элемент (его называют константой приведения) ...
... если - предельная абсолютная погрешность приближённого числа , то (1.2) отсюда следует, что (1.3) Значение предельной абсолютной погрешности, обычно, подбирается интуитивно по смыслу задачи. Пример 2: Определить предельную абсолютную погрешность числа , заменяющего число , точное значение которого нам неизвестно. Так как мы знаем, что , ...
... удивили меня…, хоть речь идёт обо мне самой. Они действительно написаны прекрасным стилем, который превосходит стиль самого очерка" /2/. 2.3. Рождение первенца и критическое перенапряжение Августа Ада Лавлейс работает с большим напряжением. В письмах к Бэббиджу она неоднократно жалуется на утомление, болезни, плохое самочувствие. Наконец, 6 августа Бэббидж отсылает Аде свои последние замечания ...
... в Украине, бывшем Советском Союзе и за рубежом научная школа теоретического программирования. В 2001-м году ее не стало... Но не только в научном плане велика роль женщин в развитии вычислительной техники. Со временем образуется огромное количество различных фирм по разработке и продаже программного и аппаратного обеспечения. Следовательно, разыгрываются человеческие трагедии капиталистического ...
0 комментариев