Види понять

1.5. Види понять.

У шкільному курсі математики вивчають три види понять:

1) первісні (неозначувані);

 2)означувані;

3) поняття, які вводяться описуванням, на прикладах.

 В останньому випадку учні частково дістають уявлення про істотні властивості поняття, але означення поняття не формулюється з дидактичних міркувань. Розглянемо особливості методики формування трьох основних видів понять.

Первісні поняття. На перших уроках геометрії в 7 класі розкриваються істотні властивості понять «точка» і «пряма» за допомогою системи аксіом планіметрії. Тут учнів ознайомлюють з важливими відношеннями «належати» для точок і прямих, «лежить між» - для трьох точок прямої. Доцільно звернути увагу учнів на те, що поняття точки, прямої, площини походять від реальних існуючих об'єктів довкілля.

Наприклад, уявлення про пряму дає натягнута нитка, дріт, уявлення про точку - місце дотику олівця до паперу чи крейди до дошки, уявлення про площину – поверхня озера. Проте в геометрії ці фігури дістають, нехтуючи такими властивостями, як розміри точки, товщина прямої, площини. Пряма в геометрії не має товщини і уявляється продовженою необмежено, хоча зображається у вигляді відрізка.

Під час формування первісних понять геометрії важливо, щоб учні добре засвоїли термінологію стосовно цих понять. Наприклад: «точки А і С лежать на прямій а», або «точки А і С належать прямій а»; «прямі а і b перетинаються в точці С», або «точка С є точкою перетину прямих а і b».

Учні мають усвідомити, що поняття «лежить між» стосується точок прямої. Доцільно не тільки ввести поняття і проілюструвати на рисунку, а й розв'язати кілька вправ на підведення до цього поняття. Зокрема, можна запропонувати учням указати точки, які лежать між двома іншими точками. В цьому разі доцільно взяти не тільки точки прямої, а й точки довільних ліній, наприклад кола, ламаної (Мал.3).

Якщо запропонувати учням позначити точку К, яка лежить між даними точками А і В прямої, то деякі учні можуть поставити точку К посередині відрізка АВ. Це пов’язано з розумінням цього поняття в життєвій практиці. Учням слід пояснити: в геометрії точкою, що лежить між точками А і В, є не лише середина відрізка АВ, а будь – яка точка відрізка, розміщена правіше від А і лівіше від В.

Дехто з учнів може назвати точку С кола такою, яка лежить між точками А і D цього кола. Учні мають уміти обґрунтовувати неправильність такої відповіді, розрізняти сформоване на життєвому досвіді поняття «лежати між» і наукове, геометричне поняття.

Означувані поняття. У систематичних курсах алгебри і геометрії значна кількість нових понять означається. Наприклад, тотожно рівні вирази, тотожність, тотожне перетворення виразів, корінь рівняння, лінійне рівняння з одним невідомим, функція, багаточлен, степінь багаточлена, відрізок, промінь, коло, трикутник, паралельні прямі в просторі, багатогранник.

Вводячи означення математичних понять, потрібно враховувати, наскільки відомі й зрозумілі учневі певного віку ті істотні властивості, які розкривають зміст нового поняття. Психолог Дж. Брунер з цього приводу зазначав, що коли основні поняття подано у формальному вигляді як рівняння або точні словесні означення, то вони є недоступними для дитини, якщо вона не засвоїла їх спочатку інтуїтивно.

Це зауваження стосується введення означень на всіх етапах навчання. Що абстрактніше поняття, складніша логічна структура його означення, то гостріша потреба в попередньому запровадженні поняття на інтуїтивному рівні, у поясненні властивостей, які увійдуть в означення, спочатку на конкретних прикладах з використанням наочних образів. Важливо звертати увагу школярів на логічну структуру означень і передусім чітко називати спільні істотні властивості, що входять в означення, характер їх зв'язку (кон'юнктивний, диз'юнктивний чи обидва одночасно). При цьому не обов'язково вводити термінологію логіки, важливо пояснити роль сполучників.

Під час підсумкового повторення в 9 класі або на перших уроках стереометрії, коли пояснюється логічна будова геометрії, слід звернути увагу учнів на принципову можливість різних означень того самого поняття залежно від вибору істотних властивостей, що містить означення. Це можна пояснити на прикладі паралелограма. Водночас не можна допускати, щоб в учнів склалося уявлення про довільність введення математичних понять взагалі та їх означень зокрема.

Потрібно показати учням приклади обґрунтування доцільності введення саме такого, а не іншого означення певного поняття. Наприклад, під час розгляду поняття степеня з нульовим і від'ємним показниками слід пояснити, що доцільність запропонованих означень спричинена потребою поширити правила дій над степенями з натуральним показником на степені з нульовим і цілим від'ємним показниками.

Поняття, що вводяться описово. Значна кількість математичних понять, що вивчається в курсах математики початкової школи та 5 —6 класів, вводиться описово. Наприклад, у 5 класі за посібниками так вводять поняття числового й буквеного виразів, відрізка, кута, трикутника, площі, звичайного дробу, десяткового дробу, прямокутного паралелепіпеда; у 6 класі — поняття простого і складеного чисел, кола, кругового сектора, кулі, від'ємного числа, додатного числа, числової прямої, прямокутної системи координат, коефіцієнта, подібних доданків.

Низка понять вводиться описово, на прикладах і в систематичних курсах алгебри, геометрії. Наприклад, у 7 класі на уроках алгебри на кількох прикладах запроваджується поняття одночлена і його стандартного вигляду. При цьому увагу звертають на те, що наведені вирази є добутком чисел, змінних та їхніх степенів, тобто фактично розкривають істотну властивість одночленів. Розглядаючи поняття «геометрична фігура» на першому уроці геометрії в 7 класі, недоцільно обмежуватися лише рисунками фігур, запропонованих у підручнику.

 Потрібно показати учням моделі різних планіметричних фігур і геометричних тіл, наприклад трикутників, виготовлених з дроту, і плоских трикутників, вирізаних з паперу або картону, кола, круга, паралелепіпеда, кулі. Слід звернути увагу на те, що обидва трикутники, коло, круг можуть розміститися в площині всіма своїми точками, а паралелепіпед і куля — ні. Ці перші уявлення про особливості різних геометричних фігур сприятимуть свідомому засвоєнню їхніх властивостей у подальшому вивченні курсу геометрії.

У процесі формування математичних понять учні припускаються помилок, самостійно виявляючи істотні властивості у разі формування поняття конкретно-індуктивним методом і формулюючи означення, якщо їх уже введено. При цьому учні часто не помічають деяких істотних властивостей або умов, невдало вибирають або взагалі пропускають родове поняття.

Найефективніше названі помилки виправляти за допомогою контрприкладів, які допомагають не тільки краще усвідомити істотні властивості понять, а й міцніше запам'ятати їх.

Наведемо приклад застосування контрприкладів для виправлення помилок учнів під час формулювання вже наведених раніше означень понять.

На уроках геометрії учні вже ознайомились з означенням хорди. Під час повторення вивченого було допущено помилку в означенні. При цьому «діалог» учителя з учнем може бути таким.

Учень. Хорда — це лінія, що з'єднує дві точки кола.

Учитель проводить хвилясту лінію, що з'єднує дві точка кола.

Учень. Хорда — це пряма лінія, що з'єднує дві точки кола.

Учитель проводить січну, що проходить через центр кола.

Учень. Хордою називається відрізок, що з'єднує дві точки кола.

Рівнозначні поняття. Відношення рівнозначності (або тотожність) утворюється між поняттями, що відображають один і той же предмет, його зв'язки.

У кожному предметі є, з одного боку, істотні ознаки, що є загальними для класу предметів, з іншою специфічні, характерні для даного предмету. Загальні ознаки, як вже мовилося, є родовими ознаками, специфічні — видовими. Родова ознака в даному випадку як би зв'язуюча ланка між видовими поняттями.

У видових ознаках тотожних понять відображаються різні сторони одного і того ж предмету або явища. Значить, видові ознаки цих понять не виключають, а доповнюють один одного. Звідси витікає, що об'єми тотожних понять співпадають.

Виходячи зі всього сказаного можна дати наступне визначення рівнозначних (тотожних) понять.

Рівнозначні поняття — це сумісні поняття про один і той же предмет і відмінні по видових ознаках, що характеризують різні сторони даного предмету:

Дуже важливо уміло користуватися рівнозначними поняттями в практичній діяльності. Уміле їх використовування при викладі учбового матеріалу, при читанні лекцій, виступів з докладом робить їх цікавими за формою і змістом, не стомлює одноманітністю. Цьому умінню потрібно навчати дітей з найперших днів в школі.

Необхідно звернути увагу на помилки, що припускається деколи, при операції рівнозначними поняттями. Так, часто учні ототожнюють абсолютно нерівнозначні поняття. Наприклад, па уроках математики помилково ототожнюються такі поняття, як «круг» і «коло», «додати нуль» і «приписати нуль»; на уроках хімії ототожнюються такі поняття, як безбарвний» і «прозорий», «безбарвний» і «білий»; на уроках фізики часто спостерігається ототожнення понять «сила тяжкості» і «вага тіла», «сила тиску» і «тиск», «сила» і «енергія» «сила» і «потужність».

Поняття, що перехрещуються (відношення перетину). Поняттями, що перехрещуються, називаються видові поняття, що мають загальний рід, а видові ознаки кожного з них відображають як специфічні, так і частково загальні сторони (властивості) предметів і явищ.

Частковий збіг видових ознак понять, що перехрещуються, обумовлює частковий збіг їх об'ємів. Таким чином, на відміну від рівнозначних понять, де видові ознаки не пов'язані один з одним і відображають різні сторони предмету, в поняттях, що перехрещуються, видові ознаки частково співпадають. Приклади понять, що перехрещуються: що «вчиться» і «спортсмен», «інженер» і «винахідник». В приведених прикладах загальним родовим поняттям є «людина». Частина видових ознак поняття що «вчиться входить в зміст поняття «спортсмен»— деякі спортсмени можуть бути тими, що вчаться, але не обов'язково все, і, навпаки, частина видових ознак поняття «спортсмен» складає певну частку змісту поняття що «вчиться» — деякі учні можуть бути спортсменами. Співвідношення понять «інженер» і «винахідник» таке ж. Значить, об'єми цих понять частково співпадають. Наочно це відношення зображається за допомогою двох кругів, що перехрещуються, як показано на мал. 4 (а, б).

Приклад понять, що перехрещуються: «рідина» і «вода». Вода може бути в рідкому, газоподібному і твердому поляганнях. Тільки частина води може знаходитися в рідкому поляганні. Так само тільки частину рідини може складати вода. Загальним родовим поняттям для даних понять є «речовина».

Утворити поняття, що перехрещуються, можна при розподілі якого-небудь родового поняття по різних підставах. Одержані видові поняття знаходитимуться відносно часткового збігу. Наприклад, поняття «людина» розділимо по двох підставах: «національність» і «колір волосся». Одержимо дві групи видових понять, що знаходяться між собою відносно часткового збігу: «російський», «українець», «грузин», «казах» і т. д.; «брюнет», «блондин» і т.д. Ці поняття не будуть рядоположными. Щодо понять, що перехрещуються, в логіці існує правило, яке не можна порушувати: поняття, що перехрещуються, не можна розташовувати в один ряд при переліку.

Зв'язок між видовими ознаками понять, що перехрещуються, може не бути необхідним і бути необхідною. Наприклад, між поняттями що «вчиться» і «спортсмен» зв'язок не необхідний, а між поняттями що «вчиться» і «відмінник» — необхідна, оскільки кожному учню властивий той або інший вид успішності. По видовій ознаці зв'язок між даними поняттями, що перехрещуються, необхідний, родова ознака є їх зв'язуючою ланкою.

У результаті перетину об'ємів (збіги частини змісту) понять, що перехрещуються, можуть утворюватися нові поняття. Загальні елементи об'ємів понять, що перехрещуються, складають об'єм освіченого поняття. Наочно це представлено на мал. 4.

Несумісними називаються поняття, що мають загальне найближче родове поняття (родова ознака) і видові ознаки, що виключають один одного, наприклад: «сміливий» — «несмілий», «білий» — «чорний», «глибокий» — «дрібний». Об'єми сумісних понять не містять в собі загальних елементів. В основі відношення несумісних понять лежить виключення їх один одним за об'ємом і за змістом. Загальним же для сумісних і несумісних понять є те, що вони мають загальне найближче родове поняття (є порівнянними).

До несумісних відносяться осоружні і суперечать поняття. Несумісними можуть бути і супідрядні поняття.

Супідрядні поняття відображають види одного загального для них і роду, що підпорядковує їх. Об'єми супідрядних понять складають самостійні частини об'єму родового поняття. Відношення між видами, підлеглими одному загальному для них роду, називається відношенням супідрядності.

За змістом супідрядні поняття мають як загальні ознаки, що є ознаками родового поняття (родовими ознаками), так і специфічні, відображають особливості видових понять (ознаки видової відмінності). Якщо супідрядні поняття несумісні, то вони строго підкоряються всім правилам розподілу понять і тому, зокрема, не можуть бути тими, що перехрещуються (Мал.5,а). Але супідрядні поняття можуть бути і сумісними. В цьому випадку видові поняття, підлеглі загальному роду (члени супідрядності), можуть бути тими, що перехрещуються. Цей випадок схематично, зображений на мал. 5,б), з якого видно, що члени супідрядності можуть бути поняттями, що перехрещуються (поет може бути одночасне і романістом, і драматургом і т. д.).

У учбовому процесі дуже важливо правильно співвідносити поняття, не припускаючись при цьому помилки. Це можливо при знанні наступних правил операції супідрядними поняттями:

Похожие работы

Формування геометричних понять у молодших школярів

Скачать

59323

2

1

... сприймали готові образи, що їх дає вчитель, а й самі відтворювали геометричні форми в процесі моделювання, креслення, вирізування, малювання. Тому центральне місце у формуванні геометричних понять займає практика самих школярів. Сприймання простору передбачає сприймання відстані, на якій предмети розміщені від нас і один від одного, напряму, в якому вони перебувають, величини та форми предметів. ...

Методика проведення лабораторних занять з курсу "Застосування ІКТ у навчальному процесі з математики"

Скачать

111999

3

53

... може бути компетентною або некомпетентною в певних питаннях, тобто мати компетентність (компетентності) у певній галузі діяльності. Саме тому, одним із результатів навчання курсу «Застосування ІКТ у навчальному процесі з математики» вбачається формування в майбутніх вчителів відповідних ключових фахових компетентностей. Зазначене вище наштовхнуло на дослідження компетентностей: внаслідок чого ...

Активізація пізнавальної діяльності учнів в процесі навчання математики

Скачать

198737

17

8

... у фінансовій сфері. Таке означення показує, що ці задачі можуть використовуватися протягом всього учбового процесу. Останнім часом посилився пошук шляхів активізації пізнавальної діяльності учнів у процесі навчання математики за допомогою задач. Введення математичних задач фінансового змісту в шкільний курс ґрунтується на засадах та принципах процесу активізації пізнавальної діяльності учнів. ...

Використання навчальних комп’ютерних ігор в процесі вивчення математики в початковій школі

Скачать

77535

1

6

... . В ході нашого дослідження ми також виконали поставлені нами завдання. Вивчення психолого-педагогічних, а також і методичних аспектів використання комп’ютерних ігор у процесі навчання молодших школярів на уроках математики дало змогу проаналізувати шляхи такого використання, на основі чого створити свої. Підбір навчальних ігор для уроків математики в початковій школі дав змогу зробити певні на