Об’єкт, поняття. Схожість їх і різниця
Зміст і об'єм поняття. Зв'язок між ними
Види понять
Супідрядні поняття повинні бути найближчими видами одного загального роду
Означення понять. Способи означення понять
Задача визначення — в короткій формі зафіксувати здобуті знання про предмет або явище
Види означень
Структура означення
Основні вимоги до означень
Виконання дії підведення під поняття
Абстрактно-дедуктивний та конкретно-індуктивний методи навчання
Навигация
Види означень
Формування математичних понять в процесі викладання математики в основній школі
104386
знаков
0
таблиц
9
изображений
1.9. Види означень.
Існують різні види означень у математиці. Найпоширеніший з них — означення через рід і видову відмінність.
Означення через рід і вид. При такому означенні ми заздалегідь визначаємо клас, який припускається вже точно означеним, і з нього виділяємо підклас, що має дану видову відмінність. Наприклад, арифметичною прогресією називається числова послідовність, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, складеному з одним і тим самим числом. Найближчий рід тут — це поняття «послідовність» (припускається, що поняття «послідовність» точно означене), видова відмінність: «кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, складеному з одним і тим самим числом».
Означення поняття характеризується двома основними частинами. Перша частина - визначуване поняття. Це то поняття, що визначається, друга частина — визначальна поняття — ті слова в означенні, що характеризують родову і видову ознаки визначуваного поняття. Наприклад, в означенні арифметичного квадратного кореня «невід'ємне число, квадрат якого дорівнює а» визначуване поняття буде «арифметичний корінь», визначальне поняття — це слова «невід'ємне число, квадрат якого дорівнює а».
Означення через рід і вид здебільшого зустрічаються у геометрії.
Генетичне означення. Генетичне означення — це означення, яке вказує на походження предмета, яке охоплюється даним поняттям. У такому означенні вказується спосіб, яким даний предмет утворюється. Наприклад, означення: «Куля — тіло, яке утворюється від обертання півкруга навколо діаметра» є генетичним означенням. В цих означеннях використовується рух або побудова.
У генетичному означенні також міститься вказівка на найближчий рід і чітко виражається видова відмінність визначуваного предмета від інших предметів даного роду. Наприклад, в означенні циліндричної поверхні: «Поверхня, яка утворюється рухом прямої, що переміщується паралельно самій собі і яка перетинає деяку задану плоску криву (направляючу циліндричної поверхні) поняття «поверхня» є родовою ознакою, а всі інші ознаки, що входять у це означення, є видовими ознаками.
Означення —умовні погодження. До таких означень, наприклад, відносять: 1) означення добутку від'ємних чисел (—а) * (—b) = ab; 2) означення добутку двох дробових чисел: 
; 3) означення степеня з від'ємним показником: а-n =
; 4) означення степеня з нульовим показником а0 = 1; 5) означення 
= 1 і т. д.
У старих підручниках ці означення фігурували як правила, і тому окремі учні часто плутали їх з теоремами. Наприклад, окремі учні помилково вважали, що висловлення а0 = 1 — це теорема, а не означення. Термін «умовні погодження» є невдалим, і це призводить, до того, що окремі учні помилково вважають, що в математиці можна довільно прийняти будь-які погодження. Слід їм пояснити, що доцільність вибору тих чи інших означень диктується потребами узагальнення і зумовлюється певними математичними принципами, перевіреними практикою в широкому розумінні цього слова.
Важливо, щоб учні старших класів навчились самі розбиратися в доцільності таких означень і вміли пояснювати, чому саме вибрані ті означення, а не інші.
При введенні такого означення, яке ще не використовувалося, не треба запитувати: «Чи вірне це означення?». Досить запитати, чи доцільно вибрано означення?
Означення через абстракцію. До цього виду означення звертаються тоді, коли означення через рід і вид важко здійснити.
Процес утворення поняття в цьому випадку спирається на абстракцію ототожнювання. Зіставляючи і порівнюючи між собою різні предмети, ми виділяємо їх спільні властивості, а серед них— специфічні, відмінні властивості для даного кола предметів, утворюючи відповідні множини, кожний елемент яких розглядається під кутом зору цієї відмінної властивості.
Сукупність встановлених при цьому ознак ми об'єднуємо загальною назвою, не вказуючи родового поняття (яке зовсім не існує або до моменту означення нового поняття ще не створене). Таким способом утворюється нове поняття.
Візьмемо, наприклад, поняття «величина». В результаті спостережень і досвіду виявляються такі основні ознаки цього поняття:
1) які б не були а і b має місце одне і тільки одне з трьох співвідношень: або а = b, або a < b, або b < а;
2) якщо а < b і b < с, то а < с (транзитивність відношень «менше», «більше»);
3) для будь-яких двох величин а і b існує однозначно визначена величина с = а + b;
4) а + b = b + а (комутативність додавання);
5) а + (b + с)=(а+b)+с (асоціативність додавання);
6) а +b >а(монотонність додавання);
7) якщо а > b, то існує одна і тільки одна величина с, для якої b+с =а (можливість віднімання);
8) якими б не були величини а і натуральне число n, існує така величина В, що nb = а (можливість ділення);
9) якими б не були величини а і b, існує таке натуральне число п, що а < nb. Ця властивість називається аксіомою Архімеда;
10)якщо послідовності величин а1< а2< ... < b2< b1
такі, що bn - аn< с для будь-якої величини с при досить
великому номері п, то існує єдина величина х, яка більша за
всі аn і менша за всі bn.
Стимулом для формування поняття «величина» є потреба взагалі порівнювати між собою різні предмети. Раніше (ще в дошкільному періоді) у дітей утворюються відносні поняття «великий і маленький», «довгий і короткий» і т. д. і поступово виділяється те спільне, що лежить в основі поняття «величина», пізніше — утворюється поняття «дорівнює», яке спочатку виникає в негативній формі «не більше» і «не менше». Це пояснюється тим, що практично нерівність предметів встановити набагато легше, ніж рівність.
Означення через аксіоми. Цей вид означення розкриває зміст поняття непрямим шляхом через систему аксіом, які описують відношення, що зв'язують це поняття з рештою понять даної системи.
За допомогою системи аксіом визначаються найбільш широкі родові поняття геометрії через основні поняття: «точку», «пряму», «площину», «відстань» «належить» та ін. Решта понять визначається за допомогою цих понять.
У алгебрі через систему аксіом визначаються такі широкі поняття, як група, кільце, поле, тіло, структура і т. д.
Усвідомлення учнями аксіоматичних означень можливе лише в старших класах, коли вони матимуть певне уявлення про дедуктивну побудову курсу математики.
Похожие работы
... сприймали готові образи, що їх дає вчитель, а й самі відтворювали геометричні форми в процесі моделювання, креслення, вирізування, малювання. Тому центральне місце у формуванні геометричних понять займає практика самих школярів. Сприймання простору передбачає сприймання відстані, на якій предмети розміщені від нас і один від одного, напряму, в якому вони перебувають, величини та форми предметів. ...
... може бути компетентною або некомпетентною в певних питаннях, тобто мати компетентність (компетентності) у певній галузі діяльності. Саме тому, одним із результатів навчання курсу «Застосування ІКТ у навчальному процесі з математики» вбачається формування в майбутніх вчителів відповідних ключових фахових компетентностей. Зазначене вище наштовхнуло на дослідження компетентностей: внаслідок чого ...
... у фінансовій сфері. Таке означення показує, що ці задачі можуть використовуватися протягом всього учбового процесу. Останнім часом посилився пошук шляхів активізації пізнавальної діяльності учнів у процесі навчання математики за допомогою задач. Введення математичних задач фінансового змісту в шкільний курс ґрунтується на засадах та принципах процесу активізації пізнавальної діяльності учнів. ...
... . В ході нашого дослідження ми також виконали поставлені нами завдання. Вивчення психолого-педагогічних, а також і методичних аспектів використання комп’ютерних ігор у процесі навчання молодших школярів на уроках математики дало змогу проаналізувати шляхи такого використання, на основі чого створити свої. Підбір навчальних ігор для уроків математики в початковій школі дав змогу зробити певні на
0 комментариев