Виды измерений и причины ошибок
Наиболее вероятное значение измеряемой величины
Понятие доверительного интервала и доверительной вероятности
Ошибки косвенных измерений
Найдем средние значения и погрешности следующих пяти измерений
Виды случайных величин и законы их распределения
Числовые характеристики случайных величин, заданных своими распределениями
Закон Пуассона
Вероятности ошибок первого и второго рода
Графический метод обработки результатов
Аналитические методы обработки результатов
Знак S обозначают сумму величин от i = 1 до i = n, где n
Номограммы в декартовой системе координат
Навигация
Виды случайных величин и законы их распределения
Обработка результатов экспериментов и наблюдений
87319
знаков
11
таблиц
16
изображений
2.1. Виды случайных величин и законы их распределения
Под случайной величиной понимается величина, принимающая в результате опыта какое либо числовое или качественное значение.
Случайная величина, принимающая конечное число или последовательность различных значений, называется дискретной случайной величиной. Случайная величина, принимающая все значения из некоторого интервала, называется непрерывной случайной величиной.
Под интегральным законом распределения (или функцией распределения) F (х) случайной величины Х понимают вероятность p того, что случайная величина Х не превысит некоторого ее значения х
F (х) = p (Х < х).
Основным свойством интегрального распределения является монотонное не убывание в ограниченном диапазоне [ 0; 1 ].
Действительно, если х1 и х2 некоторые значения случайной величины Х. Причем х2 > х1, то очевидно, что событие p (Х < х2) ³ p (Х < х1), т.к. между значениями х1 и х2 могут быть и промежуточные. Из определения интегрального закона следует, что F (х2) ³ F (х1), что говорит о монотонном не убывании функции. Очевидно также, что
F (- ¥) = p (Х < - ¥) = 0;
Þ F (¥) - F (- ¥) = 1,
F (+ ¥) = p (Х < ¥) = 1;
т.е. F (х) изменяется в диапазоне от 0 до 1.
Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан таблицей или ступенчатой функцией (рис. 4)
Рис. 4. Интегральный закон распределения
дискретной случайной величины
Для дискретной случайной величины
F (x) = P (X < x) = P (-¥ < X < x) = 
,
где суммирование распространяется на хi < х. В промежутке между двумя последовательными значениями Х функция F (х) постоянна. При переходе аргумента х через значение хi F (х) скачком возрастает на величину p (Х = хi).
Рассмотрим p (х1 £ Х < х2). Если х2 > х1, то очевидно, что
p (Х < х2) = p (Х < х1) + p (х1 £ Х < х2).
Тогда
p (х1 £ Х < х2) = p (Х < х2) - p (Х < х1) = F (х2) - F (х1),
т.е. вероятность попадания случайной величины в интервал [х1; х2) равен разности значений интегральной функции граничных точек.
Последнее условие можно использовать для нахождения вероятности p (Х = х1) для непрерывной случайной величины. Для этого рассмотрим предел
p (X = x1) = 
,
т.е. если закон распределения случайной величины есть функция непрерывная, то вероятность того, что случайная величина примет заранее заданное значение, равна нулю.
Здесь видно различие между дискретными и непрерывными случайными величинами. Для дискретных случайных величин, для каждого значения случайной величины существует своя вероятность. И для него справедливо утверждение: событие, вероятность которого равна нулю, невозможно. Для непрерывной случайной величины это утверждение неверно. Как показано, вероятность того, что Х = х1 ( где х1- заранее выбранное число) равна нулю, это событие не является невозможным.
Рассмотрим непрерывную случайную величину Х, интегральный закон которой предполагается непрерывным и дифференцируемым. Функцию
¦ (х) = F¢ (õ)
называют дифференциальным законом распределения или плотностью вероятности случайной величины Х. Из определения производной можно записать
¦ (x) = F¢ (x) = 
,
т.е. плотность вероятности случайной величины Х в точке х равна пределу отношения вероятности попадания величины Х в интервал (х; х + Dх) к Dх, когда Dх стремится к нулю.
Используя понятия интегральной функции распределения и определенного интеграла можно записать
¦ (x) = F¢ (x) или
F (x) = p (x1 < X < x2) = 
.
Это соотношение имеет простое геометрическое толкование (рис. 5).
Если определяет заштрихованную область в соответствующих пределах, то
p (х < Х < х + Dх) » ¦ (х) Dх.
Рис. 5. Геометрический смысл дифференциальной функции распределения
Из свойств интегрального распределения следует
.
Зная дифференциальный закон распределения можно определить интегральный закон распределения
F (x) = 
.
Похожие работы
... Как видно, с ростом числа измерений различие между результатами, вычислениями по распределению Стьюдента и по нормальному распределению уменьшается. Контрольные вопросы Цель математической обработки результатов эксперимента; Виды измерений; Типы ошибок измерения; Свойства случайных ошибок; Почему среднеарифметическое значение случайной величины при нормальном законе ее распределения является ...
... распределения случайной величины. а) коэффициент асимметрии; б) момент случайной величины; в) коэффициент эксцесса; г) математическое ожидание. Ответ: в). Тема 9. МЕТОДЫ ВТОРИЧНОЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ЭКСПЕРИМЕНТА Тестовое задание 1. Выберите верные ответы. В зависимости от используемых источников информации исследования делятся на: а) кабинетные; б) ...
... , казалось бы, характеризуется чисто эмпирическими признаками: изменением управляемых условий, включением и выключением приборов и различных механизмов, фиксированием тех или иных свойств, эффектов и т. п. В ходе эксперимента как бы уменьшается роль теории. Но на самом деле наоборот - без теоретического знания невозможны постановка промежуточных задач и их решение. Экспериментальная установка - ...
... свободы остается на проверку гипотезы адекватности. Если заранее пренебречь взаимодействиями высших порядков, то имеется возможность получить математическую модель при меньшем числу опытов, реализовав не весь план ДФЭ, а только его часть (дробную реплику). Эксперимент, реализующий часть (дробную реплику) полного факторного эксперимента, называется дробным факторным экспериментом (ДФЭ). ДФЭ ...
0 комментариев